Probemino

Vi voglio porre un problema a cui avevo pensato anni fa, avevo accantonato perché non mi riusciva, e mi è tornato in mente da poco, ma ancora non ho avuto granchè modo di pensarci: consideriamo $A=[0,+\infty)^2$ e definiamo $A_0={(x,y)\inA|xy=0}$ e costruiamo per ricorrenza degli insiemi $A_(n+1)={p\inA|p\in\text{ad un segmento di lunghezza 1 con estremi appartenenti ad} A_n}$, la domanda è $B=uuu_{n\inNN} A_n=A$? Se la risposta è no, $B$ che forma ha? Ha area finita?

Molto probabilmente non ho capito il problema, quindi molto probabilmente sto per scrivere una stupidaggine nel qual caso conto che amichevolmente si possa fare finta che non ho scritto nulla, tuttavia...

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non dovrebbe essere semplicemente il triangolo rettangolo isoscele di cateti unitari con il vertice in \((0,0)\)?

Gli insiemi $A_n$ sono inscatolati, parlare di unione...direi limite.

È un bel "probemino"...

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Direi di no, considera il segmento di estremi $(0,1/sqrt2),(1/sqrt2,0)$, questo include il punto $p=(1/sqrt8,1/sqrt8)$, ora considera il segmento di lunghezza $1$ di estremi $p$ e un punto sull'asse delle $x$; voglio dimostrare che l'altro estremo sta sopra a $(0,1)$, basta dimostrare che la distanza tra $p$ e tale punto è minore di $1$, la distanza è $sqrt(1/sqrt8^2+(1-1/sqrt8)^2)=sqrt(1/8+1-1/sqrt2+1/8)=sqrt(5/4-1/sqrt2)<1<=>5/4-1/sqrt2<1<=>1/4<1/sqrt2<=>4>sqrt2$
, vero.

Gli insiemi $A_n$ sono inscatolati, parlare di unione...direi limite.

È un bel "probemino"...

Ma non è la stessa cosa?

È certamente la stessa cosa ma scrivere l'insieme $A_{\infty}$ come unione...insomma non traspare che siano inscatolati

Ah ho capito, quindi volevi semplicemente evidenziare il fatto che gli insiemi sono inscatolati, in effetti può aiutare.

È bello questo problemino. Sarebbe interessante partire da qualche simulazione numerica, scrivendo un programmino che calcola \(A_1, A_2,\ldots A_{10}\), per esempio. Per farsi un'idea del risultato.

Non è detto che la soluzione sia semplice. Questo per esempio:

https://en.wikipedia.org/wiki/Kakeya_set

(se ne è parlato anche in un post di Martino link) è un problema con formulazione molto semplice e soluzione molto difficile:

https://www.youtube.com/watch?v=j-dce6QmVAQ

Del problema di Kakeya ne avevo già letto in un libro divulgativo, è interessante, ma mi sorprenderebbe se il mio problema fosse di una difficoltà paragonabile, anche se non è impossibile.

La prima cosa che mi venne in mente fu l'insieme ${(x,y) \in A|xy \leq k}$, un iperbole detta papale papale