Probemino

La dimostrazione di cosa? Scrivi almeno il solo enunciato

La dimostrazione di cosa? Scrivi almeno il solo enunciato

$A_\omega=A$.

Perché usi \(\omega\) invece di \(\infty\) ?
---

RICAPITOLO: Si denota
\[
A=[0, \infty)\times [0, \infty), \]
e si definisce una successione di sottoinsiemi di \(A\) per ricorrenza come segue:
\[
A_{n+1}=\{ \text{segmenti di lunghezza 1 aventi estremi in }A_n\}.\]
Il problema è trovare il limite della successione avente per dato iniziale \(A_0=\{(x, y)\in A\ :\ x=0\ \text{oppure}\ y=0\}\). Gugo ha calcolato esplicitamente \(A_1\) e c'era la congettura che \(A_\infty =A\).

Uso $A_\omega$ invece di $A_\infty$ perché in linea di principio potrei continuare anche dopo l'infinito su tutti gli ordinali, cosa che non si capisce molto (secondo me) con la notazione $A_\infty$, ma ora non ha più senso continuare ad usarla, tutto sommato.

RICAPITOLO: Si denota
\[
A=[0, \infty)\times [0, \infty), \]
e si definisce una successione di sottoinsiemi di \(A\) per ricorrenza come segue:
\[
A_{n+1}=\{ \text{segmenti di lunghezza 1 aventi estremi in }A_n\}.\]
Il problema è trovare il limite della successione avente per dato iniziale \(A_0=\{(x, y)\in A\ :\ x=0\ \text{oppure}\ y=0\}\). Gugo ha calcolato esplicitamente \(A_1\) e c'era la congettura che \(A_\infty =A\).

Hai ricapitolato bene.

Ho posto questo problema ad un mio amico, che è riuscito a risolvere, però non so come fare a scrivere la dimostrazione perché è molto lunga e complicata.

Inizia a scrivere!

Io personalmente non ho fretta e penso nemmeno gli altri.
Comincia a scrivere: un pezzo oggi, un pezzo domani. Prima o poi arriverai ad aver scritto tutto.

P.S.
C'è un errore nel titolo del topic: manca una "l" tra la "b" e la "e".

Scrivi intanto in spoiler naturalmente l'insieme limite che è venuto al tuo amico, in modo che i presenti possano smentirlo o dimostrarlo

P.S.
C'è un errore nel titolo del topic: manca una "l" tra la "b" e la "e".

Oddio, non riesco a credere di non essermene accorto in tutto questo tempo...
Grazie per avermelo detto!

EDIT: Purtroppo però ormai non me lo fa modificare.

Comunque visto che me l'avete richiesto in tanti, lo scriverò via via, in modo da riuscire a finire prima o poi.
Cominciamo subito: dimostriamo che $A_\infty$ è tale che $\Phi(A_\infty)=A_\infty$.
Prendiamo $x,y\inA_\infty$ con $||x-y||=1$, per definizione di $A_\infty$, $EEn,m\inNN:x\inA_n,y\inA_m$, visto che $A_n\subA_m$ se $n<=m$ (vi va bene se questo lo consideriamo evidente?) quindi posso supporre $x,y\inA_n$, adesso, ogni punto che sta nel segmento di estremi $x$ e $y$ sta in $A_(n+1)\subA_\infty$, da cui la tesi.
Che ne pensate?
A dire la verità nella dimostrazione del mio amico mancherebbe una cosa che ancora non siamo riusciti a mettere a posto, ma è una cosa talmente evidente che dubito sia un problema troppo grosso, cioè che gli insiemi del tipo $A\setminusA_n$ è convesso, se qualcuno nel frattempo volesse cimentarsi in questa cosa sarebbe gradito.

Immagino che \(\Phi\) sia l'operatore
\[
\Phi(B)=\{\text{segmenti di lunghezza 1 con estremi in } B\}.\]
Il fatto che \(\Phi(A_\infty)=A_\infty\) è vero e la dimostrazione va bene. NOTA: La successione \(A_n\) è data da
\[
\begin{cases} A_{n+1}=\Phi(A_n) \\ A_0= \{(x, y)\in A\ :\ x=0\ \text{oppure}\ y=0\}.
\end{cases}\]
(Il fatto che \(A_\infty=\Phi(A_\infty)\) si può anche vedere direttamente da qui).

(Il fatto che \(A_\infty=\Phi(A_\infty)\) si può anche vedere direttamente da qui).

Davvero? Come?