Funzioni semicontinue

Buonasera a tutti!
Sono nuova quindi non so se sto scrivendo nel posto giusto!

Sono in fase di elaborazione di tesi per la laurea triennale in matematica. Argomento della tesi: funzioni semicontinue.
Il professore vorrebbe che ponessi particolare attenzione alle applicazioni che possono avere tali funzioni, in particolare sul Teorema del Dini e sulla formula di Hausdorff.

Io purtroppo non riesco a trovare veramente nulla.
Mi servirebbe una versione del Teorema del Dini in cui la funzione oltre che continua e derogabile sia anche semicontinua, e una dimostrazione che sfrutta tale ipotesi aggiuntiva.

Se sapete indirizzarmi con dispense o libri interessanti...
Vi ringrazio in anticipo!

Mai sentito parlare di teorema del Dini per funzioni semicontinue (il genere con "teorema del Dini" si intende il teorema della funzione implicita, immagino che il tuo professore abbia però in mente qualcos'altro).
Per l'altra questione, a quale formula di Hausdorff ti riferisci?

Una applicazione importante della semicontinuità è al metodo diretto del calcolo delle variazioni.

Non so se è troppo banale per te, ma un'applicazione delle funzioni semicontinue è la generalizzazione del teorema di Weiertrass sui compatti: "Una funzione s.c.s. da un compatto in $RR$ ammette massimo".
In realtà si può anche generalizzare (ma non di più) fino a richiedere solamente che il dominio sia numerabilmente compatto.

Mi servirebbe una versione del Teorema del Dini in cui la funzione oltre che continua e derogabile sia anche semicontinua,

Suppongo intendessi "derivabile". Attenzione: una funzione continua è sempre semicontinua sia inferiormente sia superiormente. Quindi non ha senso dire "oltre che continua, la funzione è semicontinua".

Mai sentito parlare di teorema del Dini per funzioni semicontinue (il genere con "teorema del Dini" si intende il teorema della funzione implicita, immagino che il tuo professore abbia però in mente qualcos'altro).
Per l'altra questione, a quale formula di Hausdorff ti riferisci?

Una applicazione importante della semicontinuità è al metodo diretto del calcolo delle variazioni.

Non è che intendeva il Lemma di Dini? (Non so bene se si possa estendere alle semicontinue però)