09/12/2017, 18:33
Bremen000 ha scritto:Magari sto per dire una poderosa scemenza ma ho pensato questo:Testo nascosto, fai click qui per vederloPoiché la funzione è Lipschitziana essa è continua e dunque, essendo $[0,1]$ compatto, essa assume massimo $M$ e minimo $m$ su tale intervallo.
Sempre perché $f$ è Lipschitziana non può essere che esista un $b : |b|>L$.
Dunque $b$, variando in $ZZ$ può assumere al più $2\lfloor L \rfloor+1 =:N$ valori.
D'altra parte $a$ non può assumere un valore maggiore di $(|M| \vee |m|)+N$ per la limitatezza di $f$.
Dunque esiste un numero finito di coppie distinte $(a,b) \in ZZ^2$ che soddisfano le ipotesi del teorema, chiamo $A$ il sottoinsieme di $ZZ^2$ che ha per elementi tali coppie.
Sia ora $q$ un razionale fissato qualsiasi.
$B_{1/(n+2)}(q) \cap [0,1] \cap QQ \ne \emptyset \quad \forall n \in NN $
Dunque è possibile costruire una successione
$\{q_n}_{n \in NN} $ t.c. $q_n \in [0,1] \cap QQ \forall n \in NN$ e $q_n \underset{n}{\to} q$
A ogni $q_n$ è associata una coppia $c_n \in A$.Ovvero a $\{q_n\}_{n\ in NN}$ è associata la successione $\{c_n\}_{n \in NN} \subset A$. D'altra parte $A$ è finito e dunque esiste una (mi sa che deve essere unica per l'unicità del limite che salta fuori dopo dove metto l'asterisco) coppia $c =(a,b)$ che si ripete infinite volte e dunque definitivamente; a tale coppia sarà associata la sottosuccessione $\{q_{n_k} \}_{k \in NN} \subset \{q_n}_{n \in NN}$ per la quale valgono i seguenti due fatti:
1. $q_{n_k} \underset{k}{\to} q$
2. $f(q_{n_k}) = a+bq_{n_k} \quad \forall k \in NN$
Da cui ricaviamo, per continuità di $f$ che anche $f(q) = a+bq \quad (\ast)$
Credo che da qua si possa ricavare che c'è un intorno aperto $D$ di $q$ tale per cui $f(x) = a+bx$ per ogni $x \in D \cap QQ$ e per continuità di $f$ deve valere anche per gli irrazionali. Con l'idea di wanderer si conclude.
09/12/2017, 19:01
09/12/2017, 19:07
Bremen000 ha scritto:Poiché la funzione è Lipschitziana essa è continua e dunque, essendo $[0,1]$ compatto, essa assume massimo $M$ e minimo $m$ su tale intervallo.
Sempre perché $f$ è Lipschitziana non può essere che esista un $b : |b|>L$.
Dunque $b$, variando in $ZZ$ può assumere al più $2\lfloor L \rfloor+1 =:N$ valori.
D'altra parte $a$ non può assumere un valore maggiore di $(|M| \vee |m|)+N$ per la limitatezza di $f$.
Dunque esiste un numero finito di coppie distinte $(a,b) \in ZZ^2$ che soddisfano le ipotesi del teorema, chiamo $A$ il sottoinsieme di $ZZ^2$ che ha per elementi tali coppie. [...]
09/12/2017, 20:37
09/12/2017, 22:56
Bremen000 ha scritto:Mi spiace, di solito posto solo cose di cui sono sicuro; ho fatto uno strappo alla regola e mi è andata male!
Ho letto e capito la tua dimostrazione, ma da lì non saprei come muovermi.
Ci deve essere qualche sorta di controllo sulle pendenze comunque...ma non ho idea di come fare
09/12/2017, 23:17
Delirium ha scritto:Bremen000 ha scritto:Mi spiace, di solito posto solo cose di cui sono sicuro; ho fatto uno strappo alla regola e mi è andata male!
Ho letto e capito la tua dimostrazione, ma da lì non saprei come muovermi.
Ci deve essere qualche sorta di controllo sulle pendenze comunque...ma non ho idea di come fare
Nessun problema, la Matematica si fa (anche) cosi'!
Comunque mi e' venuta un'altra idea (da esplorare): ora che sappiamo che anche sugli irrazionali la funziona si comporta "linearmente", possiamo scrivere \[ [0,1] = \bigcup_{(a,b) \in \mathbb{Z}^2} \{ x \in [0,1] \, : \, f(x) = a + bx \}. \]Questo ci dice che c'e' almeno una coppia \((\bar{a},\bar{b}) \in \mathbb{Z}^2 \) tale che \(\{ x \in [0,1] \, : \, f(x) = \bar{a} + \bar{b}x \} \) ha la potenza del continuo.
10/12/2017, 00:11
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