Integrale di funzione continua

Esercizio (facile). Sia \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) continua e supponiamo di avere un insieme \( S \subset \mathbb{R} \) di cardinalita' (al piu') numerabile tale che \[ \int_p^q f(x) \, dx = 0 \] per ogni coppia \(p,q \in \mathbb{R} \setminus S \). Mostrare che \(f(x) =0\) per ogni \(x \in \mathbb{R}\).

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Supponiamo per assurdo che esista un $x_0 \in RR$ tale che $f(x_0) \ne 0$. Senza perdere generalità supponiamo che sia $f(x_0)>0$. Poiché $f$ è continua esiste tutto un intorno di $x_0$ dove la funzione è positiva, diciamo $A_{x_0}$.

L'insieme $S$ ha cardinalità minore di quella del continuo e dunque l'insieme $A_{x_0} \setminus S$ ha la cardinalità del continuo e contiene almeno due elementi diciamo $p<q$.

Dunque $\int_p^q f(x)dx>0$, assurdo.

Con le stesse ipotesi, basterebbe integrabile sui compatti e si concluderebbe che $f$ è nulla quasi ovunque, giusto?

Sono l'unico al quale non appena legge "facile" passa la voglia di farlo?

Sono l'unico al quale non appena legge "facile" passa la voglia di farlo?

Io volevo vedere se era davvero facile

Con le stesse ipotesi, basterebbe integrabile sui compatti e si concluderebbe che $ f $ è nulla quasi ovunque, giusto?

Non ho capito bene cosa intendi ma mi interessa, puoi spiegarti meglio?

Sono l'unico al quale non appena legge "facile" passa la voglia di farlo?

In accordo con la scala di ovvieta' di Princeton, le mie affermazioni sulla difficolta' o sull'ovvio sono solitamente una via di mezzo tra quelle di Wedderburn e quelle di Lefschetz, quindi quando dico "facile" intendo "ricreativo" o "che puo' essere risolto mentre si aspetta il bus" (assunte le abilita' matematiche di chi popola questa sezione, ovvero i soliti pochi).

@Bremen: si'!