Soluzione dell'equazione di stato lineare e stazionaria

Salve ragazzi, ho due domande da porre in ambito matematico associato all'automazione industriale. La formula


rappresenta una somma di convoluzione, in grado di mostrare il carattere dinamico del sistema. ''Tale formula è utile per scopi analitici e non computazionali'' suggerisce il testo di riferimento ed inoltre chiede di riflettere su questa affermazione. A mio parere tale affermazione indica come a livello computazionale, le continue reiterazioni della sommatoria possono rappresentare un collo di bottiglia, voi cosa ne pensate? Inoltre viene richiesto di mostrare come si semplifica tale formula se u(K) è costante. Credo che la sommatoria sarà composta da una potenza A^j-1 che moltiplica il vettore colonna B e che questo modifica comporti delle variazioni all'interno della logica di convoluzione che regola la sommatoria perchè se inizialmente al crescere della potenza decresceva l'argomento per cui essa era moltiplicata, ora al crescere della potenza, l'argomento resterà costante. Voi cosa ne pensate?

Penso che tu debba chiarire cosa sono $x_0$, $A$, $B$ ed $u$... Scalari, vettori, matrici?

Se $u$ è costante (come vettore?) quella somma lì sembra la ridotta di una serie geometrica, solo che i suoi addendi sono del tipo matrice per vettore... Vabbé, ma non è che ragionando per analogia col caso scalare si arriva da qualche parte?

Non saprei se ragionando sul caso scalare si può giungere ad altre conclusioni ma ad ogni modo è giusto andare a definire le variabili chiamate in causa. u è un valore che varia al variare di k, ovvero al variare degli istanti temporali e dunque può essere inteso come un vettore in ingresso al sistema. A di dimensione n*n è la matrice dinamica del sistema, B n*m è la matrice degli ingressi che in questo caso è un vettore colonna composto da 1 in posizione 1,1 e da 0 nelle restanti posizioni. L'equazione di stato è x(k+1) = A*x(k) + B*u(k) con x appartenente ad R^n ed u appartenente ad R^m. x = [x1...xn] è il vettore di stato.

Non saprei se ragionando sul caso scalare si può giungere ad altre conclusioni [...]

Beh, prova, non stare qui a gingillarti.