Sempre su operatori in spazi di Hilbert

Nel corso di analisi funzionale che ho seguito si parlava esplicitamente anche di "operatori non lineari". Poi le fini questioni strutturali/categoriste (?) sono al di là delle mie competenze.

Per il 2.1

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Sotto le ipotesi date esiste una base ortonormale \( \{v_k\}_{k \in \mathbb{N}} \) di $H$ fatta da autovettori di $T$. Sia \( \{ \lambda_k\}_{k \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R} \) la corrispondente successione di autovalori (ogni autovalore appare nella successione tante volte quanto è la sua molteplicità geometrica).

Poiché per ogni reale $\alpha$ e intero non negativo $n$ si ha che

\[ \alpha T^n v_k = \alpha T^{n-1} (Tv_k) = \alpha T^{n-1}(\lambda_k v_k ) = \dots = \alpha \lambda^n_k v_k \]

allora vale che

\[ 0= p(T) v_k = p(\lambda_k) v_k \quad \quad \forall k \in \mathbb{N} \]

Se $0$ non fosse un autovalore allora la successione dei $\lambda_k$ è composta da un numero infinito di valori distinti (la molteplicità di ogni autovalore non nullo è finita) e dunque $p$ avrebbe un numero infinito di zeri. Assurdo.

Quindi $0$ è un autovalore e abbiamo anche una (utile?) informazione: $\text{dim}(\text{ker}(T)) = \infty$

2.2

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Come in 2.1, il polinomio $p$ mappa tutti gli autovalori di $T$ in $0$. Ma, siccome $p$ è positivo sul semiasse negativo, deve essere che tutti gli autovalori di $T$ sono non negativi che è equivalente a \( \langle Tx, x \rangle \ge 0 \) per ogni \( x \in H \).

Era facile ma non mi ricordavo quell'equivalenza, me l'hanno ricordata su MSE!

Esercizio 2:

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Se $x$ è un autovettore di $T$ relativo all'autovalore $\lambda$, allora vale che $p(\lambda)x = 0$; vale a dire che $\lambda$ è radice di $p$. Quindi $T$ ha un numero finito di autovalori. Per compattezza di $T$, si conclude che $0$ è autovalore. Inoltre, dall'ipotesi su $p$, segue che $\lambda \geq 0$. Infine, poiché per operatori compatti lo spettro coincide con l'insieme degli autovalori (a meno al più dello $0$), si conclude che $T$ è un operatore positivo, in quanto autoaggiunto e avente spettro contenuto in $[0, \+infty)$.