Una base ortonormale per $L^2$

Esercizio. Sia \( \{f_n \}_{n \ge 1} \subseteq L^2 ([0,1]) \) una famiglia ortonormale di funzioni a valori reali. Supponiamo che \[ \sum_{ n \ge 1} \left( \int_0^x f_n (t) \, dt \right)^2 = x \quad \forall \, x \in [0,1]. \]Mostrare che \( \overline{\text{span } \{ f_n \}}= L^2 ([0,1]) \).

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L’uguaglianza scritta è l’identit๠di Parseval per le indicatrici di $[0,x]$ al variare di \( x \in [0,1] \) rispetto alla famiglia ortonormale \( \{f_n\}_{n \ge 1} \) cioè

\[ \| \chi_{[0,x]} \|^2 = x = \sum_{ n \ge 1} \biggl ( \langle \chi_{[0,x]} , f_n \rangle \biggr )^2 = \sum_{n \ge 1} \biggl ( \int_0^x f_n(t)dt \biggl ) ^2 \]

e questa uguaglianza vale se solo se \( \{ \chi_{[0,x]} \mid x \in [0,1] \} \subset \overline{\text{span } \{ f_n \}_{ n \ge 1}}\).

Dunque è sufficiente mostrare che \( \overline{\text{span } \{\chi_{[0,x]} \mid x \in [0,1] \}} = L^2([0,1]) \). Ma questo è immediato perché se \( \langle g , \chi_{[0,x]} \rangle = 0 \, \forall x \in [0,1] \) allora, per il teorema di differenziazione di Lebesgue, si ha \( g=0 \).

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Note

1. Che in realtà è un teorema, non so perché la si chiami così ↑

Si'. Senza Lebesgue si puo' usare il fatto che le funzioni a gradino sono dense nelle funzioni semplici che sono dense in \(L^2\).

Per curiosità, questo esercizio era stato proposto da Gugo anni fa nella sezione "the English corner", se passa lui di qua sicuro saprà ripescare il link.

Per curiosità, questo esercizio era stato proposto da Gugo anni fa nella sezione "the English corner", se passa lui di qua sicuro saprà ripescare il link.

Qui

Penso sia carino ricordare come dall'identita' di Parseval discenda l'appartenenza delle \( \chi_{[0,x]} \) a \( \overline{ \text{span } \{ f_n \} } \): per \( N \in \mathbb{N} \) possiamo scrivere \[ \chi_{[0,x]} = \left( \chi_{[0,x]} - \sum_{n=1}^N \langle \chi_{[0,x]} , f_n \rangle f_n \right) + \sum_{n=1}^N \langle \chi_{[0,x]} , f_n \rangle f_n \]che in quanto decomposizione ortogonale fornisce \[ \|\chi_{[0,x]} \|_{L^2 ([0,1])} ^2 = \left\| \chi_{[0,x]} - \sum_{n=1}^N \langle \chi_{[0,x]} , f_n \rangle f_n \right\|_{L^2 ([0,1])} ^2 + \left\| \sum_{n=1}^N \langle \chi_{[0,x]} , f_n \rangle f_n \right\|_{L^2 ([0,1])} ^2 ; \]passando al limite per \( N \to \infty \) si ha la tesi, ricordando che \[ \|\chi_{[0,x]} \|_{L^2 ([0,1])} ^2 = \sum_{n \ge 1} | \langle \chi_{[0,x]} , f_n \rangle |^2. \]

Edit. Aggiunti i pezzi mancanti segnalati da dissonance.

Ultima modifica di Delirium il 01/10/2018, 14:56, modificato 1 volta in totale.

Hai saltato dei fattori \(f_n\) nella prima formula.

Sarebbe carino vedere delle applicazioni concrete di questa roba. Per esempio, dimostrare che il sistema degli esponenziali \(e^{2\pi i n x}\) è completo; con questa formula, è facile?

@dissonance: mi interessa questa cosa. Prima ho provato a buttar giù due conti ma non ho ricavato nulla di utile.

Se non altro, usando l'altra implicazione di questo risultato si vede che
\[
\sum_{n=-\infty}^\infty \left\lvert\frac{ e^{2\pi i n x}- 1}{2\pi i n} \right\rvert^2 = x,
\]
il che non mi sembra affatto immediato da dimostrare.