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[EX] Variante del teorema di funzione implicita

01/12/2018, 23:10

Siano $(x_0,y_0)\inRR^2$, $a,b\inRR^+$, $I_a=[x_0-a,x_0+a], I_b=[y_0-b,y_0+b]$ e $F:I_a\times I_b\to RR$ una funzione continua. Supponiamo $F(x_0,y_0)=0$ e che $EEk<1:|F(x,y_1)-F(x,y_2)|<=k|y_1-y_2|AAx\inI_a,y_1,y_2\inI_b$. Allora esiste $s<=a$ e un'unica funzione continua $f:[x_0-s,x_0+s]\to I_b$ tale che $f(x_0)=y_0$ e $f(x)=y_0+F(x,f(x))AAx\in[x_0-s,x_0+s]$.
Se poi riuscite a darne un'interpretazione di qualche tipo (ad esempio geometrica) tanto meglio, che io per quanto ci abbia pensato non mi è venuto in mente niente :(
Suggerimento:
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Ultima modifica di otta96 il 03/12/2018, 10:52, modificato 1 volta in totale.

Re: [EX] Variante del teorema di funzione implicita

03/12/2018, 08:26

Sicuro che sia \( f(x) = F(x, f(x)) \) ? Se $y_0$ è abbastanza lontano dallo $0$ e $b$ è molto piccolo, mi pare falso...

Re: [EX] Variante del teorema di funzione implicita

03/12/2018, 10:00

Perché?

Re: [EX] Variante del teorema di funzione implicita

03/12/2018, 10:32

Perché se la tesi è vera cioè esiste \( 0 <s \le a \) t.c.

\[ f(x) = F(x,f(x)) \quad \quad \forall x \in [x_0-s, x_0+s] \]

in particolare è vera per $x=x_0$ e quindi

\[ y_0 = f(x_0) = F(x_0, f(x_0))= F(x_0, y_0) =0 \]

che in generale è falso.

Re: [EX] Variante del teorema di funzione implicita

03/12/2018, 10:51

Si, chiaramente hai ragione, mi ero dimenticato un pezzo, ora lo metto.

Re: [EX] Variante del teorema di funzione implicita

03/12/2018, 18:00

Penso che si faccia così. Non è molto diverso da quello che si fa per spazi normati generici, se non ricordo male. Bello comunque, sarebbe da dare in uno scritto di analisi 2!
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Siano, per ogni $x \in I_a$, definite le mappe $T_x$ come

\[ T_x : [-b,b] \to \mathbb{R} \quad \quad y \mapsto F(x,y+y_0) \]

ora voglio restringere l'immagine di $T_x$ di modo che sia contenuta in \( [-b,b] \), dunque per ogni $x \in I_a$ e per ogni \( y \in [-b,b] \) si ha
\[ |T_x(y)| - |T_x(0)| \le ||T_x(y)| - |T_x(0)|| \le |T_x(y)-T_x(0)| = |F(x,y+y_0)-F(x,y_0)| \le k|y| \le kb \]

allora

\[ |T_x(y)| \le kb + |T_x(0)| = kb + |F(x,y0)|\]

Per la continuità di \( F \) esiste un $\delta >0$ tale che se \( |x-x_0| < \delta \) allora \( |F(x,y_0)| < (1-k)b \). Quindi ora posso, posto $s=\delta/2$, considerare per ogni \( x \in I_s:= [x_0-s, x_0+s] \) le mappe

\[ T_x : [-b,b] \to [-b,b] \quad \quad y \mapsto F(x,y+y_0) \]

Per Banach-Caccioppoli:
\[ \forall x \in I_s \, \exists ! \, y=y(x) \in [-b,b] \mid T_x(y) =F(x,y+y_0)=y \]

Siccome poi la coppia $(x,0)$ soddisfa \( F(x,y+y_0) = y \) (infatti \( F(x_0, y_0) = 0 \) ), allora $y(x_0)=0$.

E' dunque ben definita la funzione \( f: I_s \to I_b \) tale che \( f(x) = y(x) + y_0 \) e chiaramente per ogni \( x \in I_s \) si ha \( f(x) = y_0 + F(x,f(x)) \). In particolare vale \( f(x_0) = y_0 \).

Resta da mostrare che la funzione così costruita è continua. Prendiamo \( x_1, x_2 \in I_s \) e sia \( \epsilon >0 \) fissato:

\[ |f(x_1)-f(x_2) | = |F(x_1, f(x_1)) - F(x_2, f(x_2)) | \le \]
\[ \le |F(x_1, f(x_1) -F(x_1, f(x_2)) | + |F(x_1, f(x_2)) - F(x_2, f(x_2))| \le \]
\[ \le k |f(x_1)-f(x_2)| + |F(x_1, f(x_2)) - F(x_2, f(x_2))| \]

Siccome la mappa \( x \mapsto F(x,f(x_2) \) è continua per ogni \( x \in I_s \), esiste un \( \delta= \delta(\epsilon, x_2)>0 \) tale che se \( |x_1-x_2| < \delta \) allora \( |F(x_1, f(x_2)) - F(x_2, f(x_2))| < (1-k) \epsilon \).
Allora se \( |x_1-x_2| < \delta \) si ha

\[ |f(x_1)-f(x_2) |(1-k) < (1-k) \epsilon \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2) | < \epsilon \]

e quindi $f$ è continua.

Re: [EX] Variante del teorema di funzione implicita

16/12/2018, 13:10

Bravo Bremen, è tutto giusto.
Comunque te hai capito qual è in senso di questo teorema? Io no...
Scusa se ti ho risposto dopo così tanto tempo :oops:

Re: [EX] Variante del teorema di funzione implicita

16/12/2018, 14:40

Bene!
Guarda per dare le interpretazioni alle cose sono proprio la persona sbagliata :-D
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