Esiste sempre un \( T: X' \to X \) suriettivo?

Non ho idea di come si faccia, e potrebbe anche essere banale.

Supponiamo che \( X \) sia uno spazio di Banach non riflessivo e \( X'\) il suo duale topologico, è vero che esiste (sempre) un operatore lineare e continuo \( T : X' \to X \) suriettivo?

Uno potrebbe provare a chiarirsi le idee pigliando \( X = L^1\).

Uno potrebbe provare a chiarirsi le idee pigliando \( X = L^1\).

In quel caso \(T\colon L^\infty \to L^1\). Esiste una mappa suriettiva di \(L^\infty\) in \(L^1\)? Non saprei dimostrarlo, ma mi sembra strano, sospetterei che una tale mappa non esiste. Infatti, ciò implicherebbe che \(L^1\) è isomorfo al quoziente \(L^\infty / \mathrm{ker} T\), e questo potrebbe essere falsificabile con qualche ragionamento di tipi e cotipi: https://ncatlab.org/nlab/show/type+(functional+analysis)

Ma sono cose di cui non so praticamente niente.

Mi sono appena accorto che il link del mio post precedente viene interpretato male dal parser. Ecco il link corretto.

Ciao dissonance, grazie. Non ho più pensato a questo problema, me ne si sono presentati altri centomila.

Ah certo, è così, i problemi non mancano mai. Ho fatto una ricerca su internet, e ho visto che l'idea di usare tipi e cotipi POTREBBE funzionare, ma ci sono una miriade di dettagli da controllare e io non lo farò di sicuro.

Una domanda per dissonance. Ma tipo e cotipo sono invarianti per norme equivalenti? Perché col ragionamento di sopra si ottiene (mi sembra) solo un isomorfismo e non un'isometria.

Si, sono invarianti per solo isomorfismo, non serve che ci sia isometria.

Vero, e pensare che era anche messo in chiaro sulla pagina nCatLab! Mi aveva tratto in errore il ragionare sul caso finito-dimensionale, mentre appunto sono strumenti nati per distinguere gli spazi infinito-dimensionali.