Spazio dedicato a problemi che vanno al di là dei semplici temi d'esame o degli esercizi standard.
09/10/2019, 22:46
Esercizio. Sia \( \mathbb{M}_2 (\mathbb{R}) \) l'insieme delle matrici \( 2 \times 2\) ad entrate reali (per esempio con la norma di Frobenius). Si consideri la mappa \( f : \mathbb{M}_2 (\mathbb{R}) \to \mathbb{M}_2 (\mathbb{R}) \) definita da \( X \mapsto X + X^2 \). Mostrare che \( f(\mathbb{M}_2 (\mathbb{R})) \) contiene una palla di centro l'origine.
10/10/2019, 23:04
Non basta dire che...
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
... $Df$ ha determinante non nullo in $0$?
11/10/2019, 13:18
Si', ma perche'?
15/10/2019, 12:02
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Perché i coefficienti di $X^2$ sono polinomi omogenei di secondo grado, quindi le loro derivate parziali sono o $0$ o dei polinomi omogenei di primo grado, che valutati nell'origine danno $0$, perciò il termine $X^2$ non influisce su $Df|_0$, mentre dal termine $X$ si ottiene chiaramente la matrice identità.
15/10/2019, 13:24
Si' ok, ma volevo che mi giustificassi meglio l'implicazione \( D f (0,0) \) invertibile \( \Longrightarrow f (\mathbb{R}^2) \) contiene un intorno di \( (0,0)\).
16/10/2019, 23:14
Beh, è l'enunciato del teorema della funzione inversa, che davo per buono (anche perché non mi ricordo come si dimostra
)
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