Punti colorati nel piano.

Sembra impossibile..
Tutti i punti in un piano siano di tre colori diversi, ad esempio verde, rosso, giallo.
Dimostrare che, per ogni distanza D assegnata , esistono sempre due punti dello stesso colore a distanza D l' uno dall'altro.
Il piano è considerato dal punto astratto della matematica, come un continuum a due dimensioni.

Se ho interpretato correttamente le tue parole. è un problema già trattato ...

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Prendiamo un punto a caso, supponiamo sia verde.
Disegniamo un esagono regolare di lato $D$ con al centro il nostro punto verde.
Se almeno un vertice è verde, abbiamo finito.
Supponiamo che nessuno dei vertici lo sia.
Se almeno due vertici consecutivi sono dello stesso colore, abbiamo finito.
Supponiamo non lo siano, allora uno è giallo e il successivo è rosso, e così via.
Questo implica che, per esempio i vertici adiacenti ad un giallo siano rossi formando un triangolo equilatero.
Finito.

In teoria no, ma basta rifare la costruzione in modo che il lato dell'esagono sia di misura tale che il lato del triangolo equilatero sia di misura $D$.

Cordialmente, Alex

trattato nel forum, o in particolare in questa sezione?

Nel Forum, in questa sezione non mi pare di averlo visto ... se non ricordo male

Cordialmente, Alex

@axpgn

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Pensavo anch'io a questa soluzione (ma magari ho interpretato male le tue parole, correggimi se sbaglio), ma alla fine mi sembra sbagliata perchè chi ti assicura che partendo con una distanza più piccola di $D$ tra i vertici dell'esagono riesci a costruire di nuovo un triangolo equilatero monocromatico in quel modo? Perchè magari quando rifai la costruzione più piccola ti ritrovi con un esagono con 3 vertici consecutivi di un colore e 3 vertici consecutivi dell'altro. In altre parole, supponi di avere una distanza $D$ assegnata. Come costruisci i due punti dello stesso colore a distanza $D$? Perchè da questa soluzione sembra che si possa fare in modo costruttivo, quindi qual è l'algoritmo?

Modifica

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Sempre con triangoli equilateri, più o meno ...

Prendiamo un punto e supponiamo sia verde.
Tracciamo il cerchio sul punto verde di raggio $sqrt(3)D$
Due casi:
- i punti della circonferenza sono tutti verdi e quindi ogni coppia di punti, estremi di una corda di lunghezza $D$, sono punti dello stesso colore alla distanza $D$ richiesta.
- esiste sulla circonferenza almeno un punto giallo o un punto rosso. Tracciamo due cerchi di raggio $D$, uno centrato sul punto verde e uno centrato sull'altro punto (giallo o rosso che sia). Le due intersezioni formano due triangoli equilateri di lato $D$. Abbiamo quattro punti di tre colori al massimo e per il principio dei cassetti, due sono dello stesso colore, alla distanza $D$.

Cordialmente, Alex

si, questa è un'altra cosa dell'altra spiegazione. L'altra non l'avevo capita nemmeno io.

metto la soluzione "standard"

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Nella figura , che ora è conosciuta come Moser Spindle , le distanze AB, AC, AE, AF, BC, BD, EF, FG, DG, EG, CD sono tutte d . Supponiamo che A sia rosso . Se B o C sono dello stesso colore o uno di questi è rosso, il gioco è fatto. Quindi supponiamo che B sia giallo e C sia verde. Se D è giallo o verde, abbiamo finito. Quindi D sarà rosso. Allo stesso modo, controllando i colori di E ed F (sempre rispetto ad A), a meno che non ce ne siano due dello stesso colore, arriviamo a un G rosso, quindi D e G formano una coppia dello stesso colore ,a distanza d.