Biliardo con percorsi infiniti

Una palla si trova su un biliardo in posizione P. Provare che esiste almeno una direzione secondo cui si può lanciare la palla in modo che essa non ripassi mai per la posizione P. Si consideri il biliardo privo di attrito e si supponga che il rimbalzo alle sponde obbedisca alla stessa legge di riflessione della luce.
(SNS 1971)
(non so se è già stato pubblicato, in caso affermativo ditemi che lo tolgo)

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

E' un problema piuttosto classico. Il trucco è non pensare alla palla che rimbalza sulle sponde, ma tassellare il piano usando il tavolo da biliardo. Siccome questo è un rettangolo, si ottiene un reticolo in $\mathbb C$. Adesso $P$ è un punto di uno dei rettangoli della tassellazione, e lanciare la palla corrisponde a tracciare una semiretta che parte da $P$. Quando questa attraversa il bordo del rettangolo, diventa l'immagine speculare del rimbalzo sulla sponda. Pensando in questo modo e facendo qualche altra considerazione elementare ci si accorge che il problema diventa: dato un reticolo in $\mathbb C$ ed un punto $P$ nel piano, provare che esiste una retta che passa per $P$ e non contiene nessun punto del reticolo. Ma questo è ovvio perchè c'è un continuo di rette mentre il reticolo ha una quantità numerabile di punti.

perfetto

In realtá mi piacerebbe vedere le "altre considerazioni elementari", che non mi sembrano ovvie, anche se la soluzione mi convince.

Non sono sicuro che si possa risolvere completamente senza conti.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Per la verità forse basta ancora meno. Se $P$ è il punto di partenza (supponi per semplicità che sia interno al biliardo), ogni rettangolo della tassellazione contiene esattamente un punto che è il riflesso di $P$. L'insieme di questi punti non forma un reticolo ma è comunque numerabile, perchè la tassellazione è fatta di numerabili rettangoli.

Si, non é un reticolo ma é il traslato di un reticolo. Mancherebbe dimostrare che una traiettoria sul biliardo ripassa per \(P\) se e solo se c'é una retta che unisce \(P\) e uno di questi traslati, non so se mi spiego.

Provare che esiste almeno una direzione

Ce ne sono 6. Buttare la palla in buca

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Usando l'idea di hydro un po' più semplificata:

Supponiamo che il tavolo sia di dimensioni $b$ e $h$

Lo posiziono come griglia nel piano $RR^2$

Ora se io posiziono la pallina in $(0,0)$ sul resto del reticolo tale punto sarà identificato in un reticolo di punti del tipo $(mb,nh)$ con $m,n \in NN$

Ora alla pallina do l'inclinazione $jh/b$ con $j$ irrazionale. La traiettoria è quindi la retta con funzione $y=jh/bx$

Se prendo un qualsiasi $x=mb$, ossia una $x$ in cui abbiamo la nostra pallina avremmo che $y=jhm$ quindi $th=jhm$ ossia $t=jm$. Essendo $j$ irrazionale ed $m$ naturale abbiamo che $t$ è irrazionale, ma la $y$ di un punto del nostro reticolo è uguale ad un $nh$ con $n\inNN$, qui invece abbiamo $y=th$ con $t\notinNN$

Ne risulta che la retta $y=jh/bx$ non incrocia il nostro reticolo.