$x^x$

La derivata $n$-sima di $x^x$, valutata nel punto $x=1$, è un intero.
Ma non solo, sembra anche essere un multiplo di $n$.
(Es. $1 xx 1, 2 xx 1, 3 xx 1, 4 xx 2, 5 xx 2, ...$)
Sempre?


Cordialmente, Alex

Sì.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

...cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi, hanc marginis exiguitas non caperet.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Non l'avevo mai letta in Latino

Comunque faccio presente che non stai scrivendo sul margine

Cordialmente, Alex

Comunque no, l'ho guardato un po' ma non sono arrivato a capo di niente, mi faceva solo ridere la citazione

Comunque no, l'ho guardato un po' ma non sono arrivato a capo di niente, mi faceva solo ridere la citazione

E allora come fai a rispondere di si? hai tirato ad indovinare eh

Guardate qua che cosa ho trovato!

https://oeis.org/A005727

E' esattamente la successione descritta da Alex.

Sì ma a loro (OEIS) l'hanno detto questi qui
Peraltro chi ha lo ha dimostrato, lì non è neanche citato o quantomeno io non l'ho visto ...

Ci sono molte citazioni, se le segui trovi varie dimostrazioni. Quella è una enciclopedia di valori numerici, le dimostrazioni sono solo citate. Comunque avevi ragione, erano tutti interi. Che cosa strana

Non ci sono dimostrazioni in quelle citazioni; peraltro la sequenza a cui mi riferivo principalmente è l'altra (A5168) ovvero quella in cui si mostra che oltre a essere interi sono sempre multipli di $n$, il che è ancor più sorprendente
L'unico riferimento (ma non la dimostrazione) era quello che già conoscevo, precisamente è il paper di Richard Guy dal titolo "The Strong Law of Small Numbers" (pubblicato su Amer.Math.Monthly 1998-8), in cui un po' nascosto si trova questo:
"If $y=x^x$ and $y_n(1)$ denotes the value of $(d^ny)/(dx^n)$ at $x=1$, then $y_(n+1)(1)=y_(n)(1)+((n),(1))y_(n-1)(1)-((n),(2))y_(n-2)(1)+2!((n),(3))y_(n-3)(1)-3!((n),(4))y_(n-3)(1)+-+...+(-1)^n(n-1)!$.
This was not known to be a multiple of $n+1$ when it was submitted to the Unsolved Problems section of this MONTHLY by Richard Patterson & Gaurar Suri.
But in an 87-05-28 letter, Herb Wilf gives a proof, using the generating function for Stirling numbers of the first kind. His proof in fact shows that $n(n-1)$ divides $y_n(1)$ just if $n-1$ divides $(n-2)!$, which it does for $n>=7$, provided that $n-1$ is not prime"

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Se scriviamo $x^x=e^{x\ln(x)}$ con $x>0$, le derivate possono essere scritte in modo ricorsivo e quindi procedere per induzione. Credo ...