Sequenza Ricorsiva

Questo post di Alex
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 7&t=226995
mi ha fatto ricordare un problema simile, che posto qui.

Sia data la sequenza per $n ge 1$

$x_(n+1) = x_n *cos(y_n) - y_n*sin(y_n)$
$y_(n+1) = x_n *sin(y_n) + y_n*cos(y_n)$

con $x_1 = 4/5$ , $y_1=3/5$.

Determinare, se esistono, $lim_(n to infty) x_n$ , $lim_(n to infty) y_n$.

Forse un modo elegante di iniziare è questo: pensando alla coppia \((x_n,y_n)\) come alle coordinate Cartesiane di un numero complesso \(z_n = x_n + iy_n\), la successione definita per ricorrenza è questa:
\[\begin{cases}
z_1 = \frac{1}{5}(4+3i)\\
z_{n+1} = e^{i y_n}z_n
\end{cases}\] del resto da questo segue che \(z_2 = e^{iy_1}z_1\), \(z_3=e^{iy_2}z_2=e^{iy_2}e^{iy_1}z_1\), etc., da cui \(z_n = e^{ik_n}z_1\), dove \(k_n := \sum_{j=1}^{n-1}y_j\), e ora dovrebbe esistere un modo di stimare la somma di questa serie (chiaramente, dato che \(z_n = e^{ik_n}z_1\), si ha che \(\lim_n z_n = e^{i \lim_n k_n} z_1\)).

Ciao meghas_archon
non avevo usato la forma complessa, ma di primo acchito mi sembra un'ottima idea perchè fa arrivare subito al cuore del problema ovvero la stima di quella sommatoria.

L'idea in realtà è un evergreen, mi ricorda quello che è stato fatto qui, a pagina 13: https://arxiv.org/pdf/2208.02622.pdf