Dimostra che \( 2+2^2/2+\ldots+ 2^k/k \xrightarrow{k \to \infty} 0 \)

Sia \( \mathbb{C}_p \) il campo dei numeri complessi \(p\)-adici, i.e. la distanza è \(p\)-adica, ovvero invece della disuguaglianza triangolare soddisfa la più forte proprietà che \( \left| x - y \right| \leq \max \{ \left| x \right|, \left| y \right| \} \).

Data una serie di potenze
\[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \]
il raggio di convergenza è definito come
\[ r := \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \left| a_n \right|^{1/n} } \]

Definiamo
\[ \log(1+x) = \sum_{j=1}^{n+1} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} \]
Potete ammettere che per ogni \( x \in D^{-}(1) = \{ x \in \mathbb{C}_p : \left| x \right| < 1 \} \) la serie converge, i.e. il raggio di convergenza di \( f(x) = \log(1+x) \) è \(1\) e diverge sul bordo. Potete anche ammettere che valgono le usuali proprietà dei logaritmi per \(x \in D^{-}(1) \).

1) Dimostra che rispetto al valore assoluto \(2\)-adico abbiamo
\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n} = 0 \]

hint: Per ogni \( x \in \mathbb{Z} \) l'ordine \(2\) adico è definito come il più grande esponente tale \( 2^k \mid x \) e \(2^{k+1} \not\mid x\), mentre per \( x = \frac{a}{b} \in \mathbb{Q} \), abbiamo che \( \operatorname{ord}(x) = \operatorname{ord}(a)- \operatorname{ord}(b) \), inoltre \( \left| x \right|_2 = 2^{- \operatorname{ord}(x)} \) è la norma \(2\)-adica.

Sia \( \mathbb{C}_p \) il campo dei numeri complessi \(p\)-adici, i.e. la distanza è \(p\)-adica, ovvero invece della disuguaglianza triangolare soddisfa la più forte proprietà che \( \left| x - y \right| \leq \max \{ \left| x \right|, \left| y \right| \} \).

Questo non è specifico della metrica p-adica, ma di tutte le ultrametriche.

Dimostra che rispetto al valore assoluto \(2\)-adico abbiamo
\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n} = 0 \]

Segue direttamente dalla definizione di cosa significa "convergenza" in uno spazio metrico: per ogni $N>0$ esiste $M>0$ con la proprietà che \(|s_{m+1}-s_m|_2 = |s_{m+1}|_2 \le 2^{-N}\) per $m>M$.

Sia \( \mathbb{C}_p \) il campo dei numeri complessi \(p\)-adici, i.e. la distanza è \(p\)-adica, ovvero invece della disuguaglianza triangolare soddisfa la più forte proprietà che \( \left| x - y \right| \leq \max \{ \left| x \right|, \left| y \right| \} \).

Questo non è specifico della metrica p-adica, ma di tutte le ultrametriche.

Ovvio, era per non star lì a definire troppo formalmente \( \mathbb{C}_p \) e farla breve.

Sia \( \mathbb{C}_p \) il campo dei numeri complessi \( p \)-adici, i.e. la distanza è \( p \)-adica, ovvero invece della disuguaglianza triangolare soddisfa la più forte proprietà che \( \left| x - y \right| \leq \max \{ \left| x \right|, \left| y \right| \} \).

Questo non è specifico della metrica p-adica, ma di tutte le ultrametriche.

Dimostra che rispetto al valore assoluto \( 2 \)-adico abbiamo
\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n} = 0 \]

Segue direttamente dalla definizione di cosa significa "convergenza" in uno spazio metrico: per ogni $ N>0 $ esiste $ M>0 $ con la proprietà che \( |s_{m+1}-s_m|_2 = |s_{m+1}|_2 \le 2^{-N} \) per $ m>M $.

Scusami ma cos'è \(s_m \) ? Intendi per caso
\[ s_m = \sum_{n=1}^{m} \frac{2^n}{n} \]
??

Comunque non sono convinto dalla tua argomentazione
1) Perché converge?
2) Perché \( \left| s_{m+1} - s_m \right| = \left| s_{m+1} \right| \) ? Per esempio per \(m = 10 \) non è vero

Certo, \(s_m\) è la successione delle ridotte della serie, e dunque \(s_{m+1} = s_m + a_{m+1}\), se \(a_m:= \frac{2^m}{m}\). Cosa non ti convince? Ora la norma 2-adica di \(a_{m+1} = 2^m/m\) è \(\frac{2^{-m}}{|m|_2}\), e ora è molto (più) facile vedere che questa successione tende 2-adicamente a zero.

Non mi convince perché a me sembra che tu dica \( a_m \) va a zero e quindi anche \( s_m \) va a zero. Ma non mi sembra così immediato, penso che l'unica cosa che tu possa concludere è che \( s_m\) converge. Ma come concludi che gli \(s_m\) vanno a zero?

Potete anche ammettere che valgono le usuali proprietà dei logaritmi per \(x \in D^{-}(1) \).

Beh allora $-\log(1-2)=-\log(-1)=\log(-1)^{-1}=\log(-1)$, quindi $\log(-1)=0$ e ho finito.

Yess

Per dimostrare che \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n}\) converge a 0 nel campo dei numeri complessi \(2\)-adici, possiamo utilizzare la definizione dell'ordine \(2\)-adico e la norma \(2\)-adica.

Sappiamo che l'ordine \(2\)-adico di un numero \(x \in \mathbb{Z}\) è definito come il massimo esponente tale che \(2^k\) divide \(x\), ma \(2^{k+1}\) non divide \(x\). Inoltre, per un numero razionale \(x = \frac{a}{b} \in \mathbb{Q}\), dove \(a, b \in \mathbb{Z}\) e \(b \neq 0\), l'ordine \(2\)-adico di \(x\) è dato da \(\text{ord}(x) = \text{ord}(a) - \text{ord}(b)\).

Ora, consideriamo la serie \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n}\). Per semplificare la notazione, denotiamo \(a_n = \frac{2^n}{n}\).

Calcoliamo l'ordine \(2\)-adico di \(a_n\):
\[ \text{ord}_2(a_n) = \text{ord}_2(2^n) - \text{ord}_2(n) = n - \text{ord}_2(n) \]

Osserviamo che l'ordine \(2\)-adico di \(n\) è il massimo esponente \(k\) tale che \(2^k\) divide \(n\), ma \(2^{k+1}\) non divide \(n\). Quindi \(0 \leq \text{ord}_2(n) < \log_2(n)\).

Quindi, l'ordine \(2\)-adico di \(a_n\) è dato da:
\[ \text{ord}_2(a_n) = n - \text{ord}_2(n) \geq n - \log_2(n) \]

Ora, la norma \(2\)-adica di \(a_n\) è data da \(|a_n|_2 = 2^{-\text{ord}_2(a_n)} \leq 2^{-n + \log_2(n)} = \frac{\log_2(n)}{2^n} \).

Ora consideriamo la serie \(\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|_2\):
\[ \sum_{n=1}^{\infty} |a_n|_2 \leq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\log_2(n)}{2^n} \]

La serie \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\log_2(n)}{2^n}\) è una serie convergente in quanto è una serie geometrica con \(r = \frac{1}{2} < 1\).

Quindi, per il criterio di confronto, la serie \(\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|_2\) converge, e quindi la serie \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) converge nel campo dei numeri complessi \(2\)-adici. In particolare, \(\sum_{n=1}^{\infty} 2^n/n\) converge a 0 nel campo dei numeri complessi \(2\)-adici.


Semplificando al massimo tutto in soldoni sarebbe:

La serie \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n}\) converge a 0 nel campo dei numeri complessi \(2\)-adici. Per dimostrarlo, ho utilizzato la definizione dell'ordine \(2\)-adico e la norma \(2\)-adica. L'ordine \(2\)-adico di un numero è il massimo esponente \(k\) tale che \(2^k\) divide il numero, ma \(2^{k+1}\) non lo divide. La norma \(2\)-adica di un numero è \(2^{-\text{ord}_2}\). Ho mostrato che la norma della serie è strettamente minore di una serie geometrica convergente, quindi la serie originale converge nel campo dei numeri complessi \(2\)-adici.

Se c'è qualcosa di specifico che vorresti chiarire o se hai ulteriori domande, sono qui pronto per chiarirle!

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