dimostrazione per me impossibile

Salve,
sono un semplice appassionato di matematica, non riesco a dimostrare questa proposizione:

$e^-n (1+n/(1!) + n^2/(2!) +....+ n^n/(n!))$ $-> 1/2$, per n che va all'infinito.

Se può servire l'ho trovata qui: https://www.dpmms.cam.ac.uk/study/IA/Pr ... 18/ex4.pdf

Avrei detto che tendeva ad 1 e la somma fra parentesi ad $e^n$

È molto interessante questo problema, per ora non sono riuscito a risolverlo, non mi è nemmeno chiaro che converga ad un elemento positivo.

Cercando in giro ho trovato questo.

Cercando in giro ho trovato questo.

Grazie, partendo dal link da te indicato ho trovato questo: https://www.emis.de/journals/AMAPN/vol15/voros.pdf

che ne da una dimostrazione "diretta"

Salve! Per dimostrare questa proposizione, possiamo utilizzare l'espressione della serie di Maclaurin per la funzione esponenziale \(e^x\):

\[ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \ldots \]

Ora, consideriamo l'espressione che hai dato:

\[ e^{-n}(1 + n\frac{1}{1!} + n^2\frac{1}{2!} + \ldots + n^n\frac{1}{n!}) \]

Notiamo che possiamo riscrivere questa espressione come:

\[ e^{-n}\left(\frac{n^0}{0!} + \frac{n^1}{1!} + \frac{n^2}{2!} + \ldots + \frac{n^n}{n!}\right) \]

Ora, confrontiamo questa espressione con la serie di Maclaurin dell'esponenziale \(e^x\), sostituendo \(x = n\):

\[ e^{-n}(1 + n\frac{1}{1!} + n^2\frac{1}{2!} + \ldots + n^n\frac{1}{n!}) \]

\[ = e^{-n}e^n \]

\[ = e^{-n+n} \]

\[ = e^0 \]

\[ = 1 \]

Quindi, la tua ipotesi iniziale era corretta, e l'espressione tende a 1 mentre \(n\) va all'infinito. La somma fra parentesi, quando \(n\) va all'infinito, rappresenta effettivamente la serie di Maclaurin per \(e^x\), e il termine \(e^{-n}\) annulla il termine \(e^n\), portando alla conclusione che l'espressione tende a 1 quando \(n\) va all'infinito.

Fammi sapere se la risposta è stata di tuo gradimento.

Quindi, la tua ipotesi iniziale era corretta, e l'espressione tende a 1 mentre \(n\) va all'infinito.

Sei ChatGPT?

Perché ho avuto la tua stessa impressione?

Ora, confrontiamo questa espressione con la serie di Maclaurin dell'esponenziale \(e^x\), sostituendo \(x = n\):

\[ e^{-n}(1 + n\frac{1}{1!} + n^2\frac{1}{2!} + \ldots + n^n\frac{1}{n!}) \]

\[ = e^{-n}e^n \]

ChatGPT o no, l'errore è qui. Sarebbe corretto se fosse
\[
e^{-n}(1 + n\frac{1}{1!} + n^2\frac{1}{2!} + \ldots + n^n\frac{1}{n!} + \ldots)=e^{-n}e^n.\]
L'esponenziale è una somma infinita.

Anche la conclusione che il limite sia 1 non è chiara. Non c'è motivo per crederlo.

Anche la conclusione che il limite sia 1 non è chiara. Non c'è motivo per crederlo.

Il limite proposto risulta $1/2 $ come ha scritto l'OP che ha anche trovato la dimostrazione, infatti

Grazie, partendo dal link da te indicato ho trovato questo:
https://www.emis.de/journals/AMAPN/vol15/voros.pdf

Si, attenzione, io non ho mai sentito parlare di quella rivista, e l'articolo non sembra scritto in modo impeccabile (ho visto qualche typo a occhio). Da non prendere come vangelo.

Ma in questo caso immagino sia corretto. È un problema elementare e probabilmente gli autori avranno scritto l'articolo in fretta.

P.S.: Ho fatto un piccolo test con Mathematica ed effettivamente la successione $e^{-n}\sum_{k=0}^n n^k/(k!)$ sembra essere decrescente e con limite \(1/2\), come afferma il paper:

Codice:

DiscretePlot[Exp[-n]*Sum[n^k/Factorial[k], {k, 0, n}], {n, 1, 20}]