Disuguaglianza di Weitzenböck

Weitzenböck

@Fioravante Patrone:

Grazie mille.

esatto io avevo fatto come steven, solo che invece di considerare l'andamento di quella funzione ho semplicemente notato che $cos(alpha)+sqrt(3)sin(alpha)=2sin(alpha+pi/6)$ e che il massimo è 2, proprio se il triangolo è equilatero ( che tra l'altro è quello che aveva detto steven, vabbe). da cui la tesi;
si nome del ceffo tuttavia mi risulta ancora impronunciabile...

Ciao a tutti,
SENZA USARE LE DERIVATE, calcolare il min della funzione definita da $\cotg (\alpha)+ \cotg (\beta) + \cotg (\gamma) $ con $\alpha, \beta, gamma$ positivi e la cui somma è $\pi$.

Ciao a tutti,
nel mio precedente post ho dimenticato di dire (ma era palese, spero) che non stavo cambiando argomento (solo apparentemente poteva sembrare un cambio di argomento; in realtà è un altra maniera di guardare le stesse cose).

Essendo $alpha,beta,gamma$ gli angoli di un triangolo ( di cui indichiamo con a,b,c i lati
ed R il circoraggio),si hanno le seguenti relazioni:
$a=2Rsin alpha,b=2Rsin beta,c=2Rsin gamma$
$A=(abc)/(4R)=2R^2sin alpha sin beta sin gamma$
$sin beta sin gamma <=(1+cos alpha)/2$
$sin^2 alpha +sin^2 beta+ sin^2 gamma=2(cos alpha sin beta sin gamma+cos beta sin gamma sin alpha+cos gamma sin alpha sin beta)$
Le ultime due relazioni si possono verificare sostituendo in esse $alpha=pi-(beta+gamma)$
Ciò fatto risulta:
$a^2+b^2+c^2=4R^2(sin^2 alpha +sin^2 beta+ sin^2 gamma)=8R^2(cos alpha sin beta sin gamma+cos beta sin gamma sin alpha+cos gamma sin alpha sin beta)$
Pertanto:
$(a^2+b^2+c^2)/(4A)=(cos alpha sin beta sin gamma+cos beta sin gamma sin alpha+cos gamma sin alpha sin beta)/(sin alpha sin beta sin gamma)=cot alpha +cot beta+cot gamma$
Si tratta quindi di dimostrare che è:
$cot alpha +cot beta+cot gamma>= sqrt3$
Ora è:
$cot alpha +cot beta+cot gamma=(cos alpha)/(sin alpha)+(sin(beta+gamma))/(sin beta sin gamma)=(cos alpha)/(sin alpha)+(sin alpha)/(sin beta sin gamma)$
Per la terza relazione indicata è allora:
$cot alpha +cot beta+cot gamma>=(cos alpha)/(sin alpha)+(2sin alpha)/(1+cos alpha)$
Od anche (scritta in maniera ad hoc) :
$cot alpha +cot beta+cot gamma>=(1+cos alpha)/(2sin alpha)+(3 sin alpha)/(2(1+cos alpha))$
Ed applicando la AM-GM alla fine si ha :
$cot alpha +cot beta+cot gamma>=2sqrt((1+cos alpha)/(2sin alpha)*(3 sin alpha)/(2(1+cos alpha)))=2sqrt(3/4)=sqrt3$
C.V.D.
Ciao

mostruoso...

Ciao a tutti,
molto interessante la prova di Manlio che non usa la disuguaglianza di Weitzenböck. Se la si vuole usare (è stata già provata da vari utenti senza usare le derivate) si può fare velocemente così.
Dal teorema di Carnot e dalla formula trigonometrica dell'area del triangolo:
$a^2=b^2+c^2-2bc *sinalpha*cotalpha=b^2+c^2-4A*cotalpha$ e le due analoghe. Sommando membro a membro e riducendo si ha facilmente: $a^2+b^2+c^2=4A*(cotalpha+cotbeta+cotgamma)$ da cui, per la disuguaglianze suddetta, si deduce che il minimo richiesto è appunto $sqrt3$.