Dimostrazione topologica del TFA

[Martino]

Propongo una dimostrazione topologica del teorema fondamentale dell'algebra (TFA).
Le sole cose usate sono il teorema di Ruffini e il teorema di inversione locale.
Mi piace questa dimostrazione perche' traduce la chiusura algebrica in una proprieta' topologica (la connessione di un sottospazio ottenuto togliendo un numero finito di punti).

Nel seguito \( \displaystyle \mathbb{C} \) sara' dotato della topologia usuale.

TFA (1). Ogni polinomio non costante \( \displaystyle P(x) \in \mathbb{C}[X] \) ha almeno uno zero complesso.

Equivalentemente:

TFA (2). Se \( \displaystyle P(x) \in \mathbb{C}[X] \) e' un polinomio non costante allora la funzione \( \displaystyle f_P:\mathbb{C} \to \mathbb{C} \) , \( \displaystyle z \mapsto P(z) \) e' suriettiva.

Che TFA(2) implichi TFA(1) e' ovvio, basta prendere una controimmagine di zero.
Per mostrare che TFA(1) implica TFA(2), dato \( \displaystyle c \in \mathbb{C} \) basta trovare \( \displaystyle z \in \mathbb{C} \) tale che \( \displaystyle P(z)=c \) , cioe' uno zero del polinomio \( \displaystyle P(x)-c \) , che esiste per TFA(1).

Dimostriamo il TFA(2).

Osserviamo che la derivata di \( \displaystyle f_P \) e' anch'essa una funzione polinomiale (in altre parole la derivata di \( \displaystyle P \) e' anch'essa un polinomio), e non e' identicamente nulla perche' \( \displaystyle P \) non e' costante.

Definiamo \( \displaystyle B:=\{z \in \mathbb{C}\ |\ P'(z)=0\} \) . \( \displaystyle B \) e' un insieme finito perche' consiste degli zeri di un polinomio non nullo (per il teorema di Ruffini, per esempio).
Definiamo \( \displaystyle A:=P^{-1}(P(B)) = \{z \in \mathbb{C}\ |\ P(z) \in P(B)\} \) . \( \displaystyle A \) consiste degli zeri di una famiglia finita di polinomi, quindi anche \( \displaystyle A \) e' finito. Inoltre \( \displaystyle B \subseteq A \) .
Definiamo \( \displaystyle g_P : \mathbb{C}-A \to \mathbb{C}-P(B) \) tramite la posizione \( \displaystyle g_P(z) := P(z) \) .

Per concludere basta mostrare che \( \displaystyle g_P \) e' suriettiva.

Lemma. \( \displaystyle \lim_{|z| \to +\infty} |P(z)| = +\infty \) .
Dimostrazione. Basta raccogliere il termine di grado massimo e il limite diventa banale.

Corollario. \( \displaystyle f_P \) manda chiusi in chiusi.
Dimostrazione. Sia \( \displaystyle C \) un chiuso di \( \displaystyle \mathbb{C} \) . Per mostrare che \( \displaystyle P(C) \) e' chiuso basta mostrare che contiene i suoi punti di accumulazione. Prendiamo \( \displaystyle w \in \mathbb{C} \) di accumulazione per \( \displaystyle P(C) \) e prendiamo una successione \( \displaystyle (P(a_n))_n \) in \( \displaystyle P(C) \) (dove \( \displaystyle a_n \in C \) per ogni \( \displaystyle n \) ) che converge a \( \displaystyle w \) . Per il lemma, la successione \( \displaystyle (a_n)_n \) (contenuta in \( \displaystyle C \) ) dev'essere limitata. In particolare ammette una sottosuccessione convergente \( \displaystyle (a_{t_n})_n \) , chiamiamo \( \displaystyle a \) il suo limite. Chiaramente \( \displaystyle a \in C \) dato che \( \displaystyle C \) e' chiuso. Per la continuita' di \( \displaystyle P \) deve accadere che \( \displaystyle P(C) \ni P(a) = \lim_{n \to \infty} P(a_{t_n}) = w \) . []

In particolare \( \displaystyle f_P(\mathbb{C}) \) e' chiuso in \( \displaystyle \mathbb{C} \) , quindi \( \displaystyle g_P(\mathbb{C}-A) = f_P(\mathbb{C}-A) = f_P(\mathbb{C})-P(B) \) e' chiuso in \( \displaystyle \mathbb{C}-P(B) \) . D'altra parte per costruzione \( \displaystyle g_P \) ha derivata ovunque diversa da zero, quindi (per il teorema di inversione locale) localmente manda aperti in aperti, quindi manda aperti in aperti.

Ne segue che \( \displaystyle g_P(\mathbb{C}-A) \) e' sia chiuso che aperto in \( \displaystyle \mathbb{C}-P(B) \) . Ma \( \displaystyle \mathbb{C}-P(B) \) , ottenuto togliendo da un piano un numero finito di punti, e' connesso (cosa che non accade in \( \displaystyle \mathbb{R} \) : se si toglie un punto a una retta la si disconnette), cioe' non ammette chiusaperti non vuoti e in particolare \( \displaystyle g_P(\mathbb{C}-A) = \mathbb{C}-P(B) \) .

Fonte.

Ultima modifica di Martino il 08/02/2011, 22:29, modificato 1 volta in totale.

Bello!

C'è una cosuccia però che non capisco: perché prendi l'insieme $A=P^{-1}(P(B))$? Se definissi direttamente $g_P$ come la valutazione di $P$ su $CC-B$, cosa andrebbe storto?

Tra l'altro a quanto vedo questa bella dimostrazione e' recente (del 2000).

Questa uguaglianza:

\( \displaystyle f_P(\mathbb{C}-A) = f_P(\mathbb{C})-P(B) \)

(nella fattispecie l'inclusione \( \displaystyle \subseteq \) ) e' vera proprio perche' \( \displaystyle A=P^{-1}(P(B)) \) . Un elemento di \( \displaystyle P(B) \) potrebbe avere controimmagini che non stanno in \( \displaystyle B \) , ma di sicuro tutte le sue controimmagini stanno in \( \displaystyle A \) .

Segnalo anche questo.

Bella dimostrazione. Osservo che si può arrivare allo stesso risultato, basandosi su (quasi) gli stessi argomenti, passando attraverso i morfismi di varietà differenziabili. Mi permetto di riprendere alcuni argomenti trattati dal Sernesi:

Definizione. Siano \( \displaystyle X,Y \) due varietà differenziabili (senza bordo) e sia \( \displaystyle f : X \to Y \) un morfismo di varietà. Diciamo che \( \displaystyle x \in X \) è un punto regolare per \( \displaystyle X \) se il differenziale \( \displaystyle f_{*x}: T_x(X) \to T_{f(x)}(Y) \) (in questo caso diciamo che \( \displaystyle f \) è una summersione in \( \displaystyle x \) ); diciamo che \( \displaystyle y \in Y \) è un punto regolare per \( \displaystyle f \) se ogni punto di \( \displaystyle f^{-1}(y) \) è regolare per \( \displaystyle f \) .

In particolare se \( \displaystyle \text{dim}(X) = \text{dim}(Y) \) allora se \( \displaystyle y \in Y \) è regolare per \( \displaystyle f \) , il differenziale \( \displaystyle f_{*x} \) è un isomorfismo per ogni \( \displaystyle x \in f^{-1}(y) \) e pertanto \( \displaystyle f \) definisce un diffeomorfismo locale nell'intorno di \( \displaystyle x \) . Come conseguenza abbiamo la seguente proposizione:

Proposizione Sia \( \displaystyle f : X \to Y \) un morfismo tra varietà della stessa dimensione e sia \( \displaystyle y \in Y \) un valore regolare per \( \displaystyle f \) . Allora

1) \( \displaystyle f^{-1}(y) \) è un sottospazio discreto di \( \displaystyle X \) ;
2) se \( \displaystyle X \) è compatto \( \displaystyle f^{-1}(y) \) è un insieme finito ed esiste un intorno \( \displaystyle V \) di \( \displaystyle y \) tale che ogni \( \displaystyle y' \in V \) sia un valore regolare per \( \displaystyle f \) e che inoltre \( \displaystyle \#f^{-1}(y) = \#f^{-1}(y') \) .

Ora vi starete chiedendo: che c'entra questo con il TFA? Beh, diamo la seguente definizione:

Definizione Sia \( \displaystyle f \colon \mathbb C \to \mathbb C \) una funzione olomorfa. Siano \( \displaystyle \pi_+:\mathcal S^2 \to \mathbb C \) e \( \displaystyle \pi_- : \mathcal S^2 \to \mathbb C \) le proiezioni stereografiche. Diciamo che \( \displaystyle f \) si estende all'infinito se esiste una funzione \( \displaystyle F: \mathcal S^2 \to \mathcal S^2 \) tale che \( \displaystyle f = \pi_+ \circ F \circ \pi_+^{-1} \) .

Una rapida riflessione vi convincerà che una funzione olomorfa è estendibile all'infinito se e solo se l'espressione di \( \displaystyle \pi_+^{-1} \circ f \circ \pi_+ : \mathcal S^2 \to \mathcal S^2 \) nelle coordinate locali definite da \( \displaystyle \pi_- \) è estendibile olomorficamente nell'origine. (è chiaro, si tratta di scambiare l'origine con il punto all'infinito della sfera di Riemann). Si dà il caso che l'espressione di \( \displaystyle \pi_+^{-1} \circ f \circ \pi_+ \) nelle coordinate locali definite da \( \displaystyle \pi_- \) sia \( \displaystyle \pi_- \circ \pi_+^{-1} \circ f \circ \pi_+ \circ \pi_-^{-1} \) . Tuttavia \( \displaystyle \pi_- \circ \pi_+^{-1}(z) = \frac{1}{\overline{z}} = (\pi_- \circ \pi_+^{-1})^{-1}(z) = \pi_+ \circ \pi_-^{-1}(z) \) . Ma allora \( \displaystyle f \) è estendibile all'infinito se e solo se
\( \displaystyle \displaystyle \frac{1}{\overline{f \left( \frac{1}{\overline{z}} \right)}} \) si estende nell'origine.

Se \( \displaystyle P(z) = a_0 + \ldots + a_n z^n \) è un polinomio con \( \displaystyle a_n \ne 0 \) , allora
\( \displaystyle \displaystyle \frac{1}{\overline{P \left( \frac{1}{\overline{z}} \right)}} = \frac{z^n}{\overline{a}_0 z^n + \ldots + \overline{a_n}} \)
e pertanto il polinomio si estende all'infinito.

Ora \( \displaystyle \mathcal S^2 \) è compatta e pertanto la proposizione precedente si applica a \( \displaystyle F := \pi_+ \circ P \circ \pi_+^{-1} \) ; se poniamo \( \displaystyle B = \{w \in \mathcal S^2 \mid P'(\pi_+(w)) = 0\} \) allora, essendo questo insieme finito, segue che \( \displaystyle \mathcal{S}^2 - F(B) \) è connesso. La funzione \( \displaystyle \#F^{-1}(w) \) è costante sulle componenti connesse dell'aperto dei valori regolari di \( \displaystyle F \) , che è proprio \( \displaystyle \mathcal S^2 - F(B) \) . Ora questa funzione non è ovunque nulla e pertanto è positiva ovunque. Segue che \( \displaystyle F \) , e quindi \( \displaystyle P \) , è suriettiva. Per le considerazioni iniziali fatte da Martino, segue il TFA.

La mia professoressa ci ha fatto vedere una dimostrazione carina del TFA, basandosi sul fatto che il gruppo fondamentale della circonferenza è \( \displaystyle \mathbb{Z} \) .

Teorema: Ogni polinomio complesso non costante ha una radice.
Dimostrazione: Possiamo supporre che il polinomio sia monico. Quindi \( \displaystyle p(z)=a_0+a_1 z + \dots + a_{k-1} z^{k-1} + z^{k} \) con \( \displaystyle k \geq 1 \) .

Supponendo per assurdo che \( \displaystyle p(z) \neq 0 \quad \forall z \in \mathbb{C} \) , definiamo \( \displaystyle F: [0,1] \times [0, +\infty) \to S^1 \subset \mathbb{C} \) come \( \displaystyle F(t,r)= \frac{p(r \exp (2\pi i t))}{|p(r \exp (2\pi i t))|} \frac{|p(r)|}{p(r)} \) , che è continua.

Allora, costruiamo la seguente funzione \( \displaystyle H: [0,1] \times [0,1] \to S^1 \) :
\( \displaystyle H(t,s)= \begin{cases} F \bigg(t, \frac{s}{1-s} \bigg) & \text{ se } 0 \leq t \leq 1, \, 0 \leq s < 1 \\ \exp (2 \pi i k t) & \text{ se } 0 \leq t \leq 1, \, s=1 \end{cases} \) .
\( \displaystyle H \) è continua* ed è un'omotopia relativa a \( \displaystyle \{0,1\} \) tra \( \displaystyle F(t,0)=1 \) che ha grado \( \displaystyle 0 \) e \( \displaystyle \exp (2 \pi i k t) \) che ha grado \( \displaystyle k \neq 0 \) . Ma allora non possono essere equivalenti. Contraddizione.

*Rimane da mostrare che \( \displaystyle H \) è effettivamente continua: \( \displaystyle \lim_{s \to 1} H(t,s) = \lim_{s \to 1} F \bigg(t, \frac{s}{1-s}\bigg)= \lim_{r \to \infty} F(t,r)= (\exp (2 \pi i t))^k= \exp (2 \pi i k t) \) .

Mi sono accorto solo ora che qualcosa di simile viene fatto nel link di Martino -__-

Quest'ultima dimostrazione si può trovare, senza sostanziali modifiche, nel testo Topology di J. Munkres.

Necroposto per ringraziare quanti hanno partecipato al thread, che mi è stato di utilità immensa. In particolare ringrazio maurer per la dimostrazione fornita, che corregge quello che ormai sono certo essere un refuso del mio testo di geometria, su cui ho sbattuto la testa tutto il pomeriggio cercando di dargli un senso.