Ok, ecco la mia soluzione ...
Una striscia di larghezza unitaria (cioè l'area compresa tra due rette parallele distanti una unità di misura) è sufficiente per ricoprire qualsiasi insieme di punti del piano di diametro unitario, qualunque sia la direzione (orientamento) della striscia stessa.
Chiamo "striscia minimale" quella che, per una determinata direzione, ricopre interamente l'insieme di diametro unitario ed ha la larghezza minima ($<=1$).
Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
Dimostrazione:
Prendo una retta del piano "esterna" al mio insieme (cioè l'insieme di punti del piano $S$ avente diametro unitario si trova tutto in una delle due parti in cui la retta divide il piano).
Avvicino la retta all'insieme $S$ mantenendola parallela a sè stessa finchè non tocca il "primo" punto del piano (o anche più di uno contemporaneamente).
Prendo un'altra retta, parallela alla prima, ma "esterna" a $S$ dall'altra parte.
La avvicino all'insieme di punti, sempre mantenendola parallela a sè stessa, finchè non si trovi ad una distanza pari a $1$ dalla prima retta.
Ora, se ci fossero dei punti di $S$ "esterni" alla striscia, questi sarebbero ad una distanza $D>1$ rispetto al "primo" punto toccato dalla prima retta; ma ciò sarebbe in contraddizione col fatto che $S$ ha diametro unitario.
CVD
Proseguiamo ...
Prendo tre strisce minimali per $S$, orientate fra loro di $60°$.
Le rette di queste strisce formano due triangoli equilateri.
Prendo un qualsiasi punto $P$ di $S$ e traccio le perpendicolari da esso ai lati dei due triangoli.
Dato che $P$ è un punto interno ad un triangolo equilatero, la somma dei tre segmenti $a, b, c$ è pari all'altezza di uno dei triangoli equilateri $a+b+c=H_1$; idem per l'altro $q+r+s=H_2$.
Essendo però i lati dei triangoli paralleli, i diversi segmenti non sono indipendenti tra loro ma vale $a+s<=1$, $b+q<=1$ e $c+r<=1$, da cui $a+b+c+q+r+s<=3$ ovvero $H_1+H_2<=3$.
Ma le due altezze non possono essere entrambe maggiori di $3/2$ per cui almeno una delle due sarà $H<=3/2$, e dato che $H=sqrt(3)/2*l\ ->\ l=(2H)/sqrt(3)<=2/sqrt(3)*3/2=sqrt(3)$.