[EX] Maledetti spiccioli!

Con tutte queste monetine, la vita è diventata impossibile...
A volte porti con te un portamonete che sembra pieno, invece c'è poco e niente; altre volte sembra quasi vuoto, invece saltano fuori decine di euro!

E proprio così che mi è venuto in mente questo simpatico esercizio.

Esercizio:

Sappiamo tutti che esistono 8 diversi tagli di monetine: 1 cent, 2 cent, 5 cent, 10 cent, 20 cent, 50 cent, 1 euro e 2 euro.

1. Quali sono la somma più piccola \(s\) e la somma più grande \(S\) che si possono ottenere prendendo 1 moneta di un taglio, 2 monete di un altro taglio, 3 monete di un taglio ancora diverso,... , 8 monete dell'unico taglio rimanente?

2. Dimostrare che quelle trovate sono effettivamente le somme minime e massime che si possono ottenere nel modo descritto.
In altre parole, provare che se \(\sigma\) è una somma ottenuta usando l'algoritmo precedente, allora si ha necessariamente \(s\leq \sigma \leq S\).

3. Generalizzare il risultato ottenuto.

Riarrangiamento a palla per tutti e 3 i punti... Ok, so che non volevi questo

Riarrangiamento a palla per tutti e 3 i punti... Ok, so che non volevi questo

Certo, il ragionamento è questo (e, tra l'altro, queste cose le studio* ).

Però gradirei che qualche studente ci pensasse un po'... Arrivare ad indovinare "a occhio" \(s\) ed \(S\), quindi tutto sta a inventarsi una dimostrazione carina del punto 2.


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* Ah, inoltre nota che in italiano è preferibile dire "riordinamento"; infatti, "riarrangiamento" pare molto una traduzione forzata dell'inglese rearrangement e perciò è meglio evitare di usarlo.

@Gugo.
[Extremely OT]
1)Attento,che a breve può scattare la psicopolizia economica solo X esserti saltato in mente un quesito del genere:
la moneta elettronica incombe,e se ne sente il Profumo da Mari e Monti
(una $s$ a chi becca la contraddizione in termini di quest'ultimo periodo..)!
2)Ma non potevi aggiungere una moneta da 0(zero) €?
Non sarebbe cambiato nulla nel tuo esercizio,ed avrebbe avuto una doppia valenza:
fortemente rappresentativa del momento del Belpaese e speranza per il futuro
(che ha il punto di ripartenza nel conio,necessario ma non sufficente, di quella monetina..)!
[\OT].
Saluti dal web.