$d_3^2+d_4^2= 2n+1$

Sia $n$ un intero positivo.
Siano $1=d_1< d_2<...<d_k=n$ tutti i suoi possibili divisori positivi, ordinati in senso crescente.
Se $k>=4$ e $d_3^2+d_4^2=2n+1$, quanto può valere $n$?


Ad esempio: $n=18 => {(d_1=1),( d_2= 2), (d_3=3), (d_4=6), (d_5=9), (d_6=18):}$ non va bene perchè $d_3^2+d_4^2=45$ mentre $2n+1=37$

Va bene questo?

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$3^2+4^2=2*12+1$

o intendevi altro?

Cordialmente, Alex

Sì, quello va bene.
Specifico meglio la richiesta: trovare tutti e soli gli $n$ con tale proprietà.

Mi pareva ...

Cmq, anche il secondo della lista va bene cioè ...

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$n=20$

... che strano ...

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12 e 20

Ciao

... anche il secondo della lista va bene

che lista?

@orsoulx: vorrei il procedimento

che lista?

Quella che mi sono fatto ...
Sembra che siano tutti divisibili almeno per quattro oppure solo per due ...

Il procedimento preciso non lo so, posso solo fare delle congetture ...

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Siccome $2n+1$ è dispari i due quadrati devono essere discordi quindi il nostro $n$ deve essere pari ma siccome $2$ non può essere il terzo o il quarto divisore ci deve essere un altro $2$ perciò i numeri multipli solo di due hanno l'altro divisore troppo "grande" mentre quelli divisibili per otto, sedici, ecc, hanno troppi $2$; tra quelli divisibili per quattro abbiamo i due trovati (col tre e col cinque) e poi ... non saprei come escludere quelli con due e sette, due e undici, ...

Cordialmente, Alex

Basterebbe indicarlo nel testo. Allora:

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2n+1 è dispari, perciò i divisori in questione devono essere un pari e un dispari.
Se n contenesse un solo fattore 2, i due divisori dovrebbero essere p e 2p (dove p è il più piccolo primo dispari divisore di n), e questo porta ad un'equazione diofantea impossibile.
Allora i divisori sono 4 e p. L'equazione diventa \( p^2+15=2n \) , p deve dividere 15, p può solo essere 3 o 5.

Ciao

Basterebbe indicarlo nel testo.

Con tutto il rispetto, ma che senso ha mettere solo la soluzione finale? La cosa più interessante che c'è nel risolvere un problema è il modo con cui lo si risolve.
Tra l'altro, scrivendo solo "12 o 20" non mi permetti di capire se hai risolto per intero l'esercizio o se hai solo fatto alcune prove e ti sono saltate fuori due soluzioni.
Un po' più di educazione, per favore.