Cifre che crescono

Quanti sono gli interi positivi tali che le cifre da cui sono formati aumentino letti da sinistra a destra?
Es. $19, 357, 2589$

Quanti sono i quadrati perfetti tali che le cifre da cui sono formati non diminuiscano lette da sinistra a destra?
Es. $12^2=144, 13^2=169, 83^2=6889$


Cordialmente, Alex

Propongo una soluzione per il primo quesito.

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Sia $N={1,2,...,9} $ l'insieme delle cifre da 1 a 9. Possiamo interpretare un intero positivo di $1\le k\le 9$ cifre distinte come un sottoinsieme di cardinalità $k$ di $N$, composto da $k$ elementi distinti. Per esempio al numero 123 associamo l'insieme ${1,2,3}$ e viceversa.

Il numero di sottoinsieme di $N$ di ordine $k$ è dato da $9Ck$: ciò vuol dire che $9Ck$ è il numero di interi positivi con $k$ cifre distinte e strettamente crescenti.

Questa cosa andrebbe dimostrata: l'idea è che, dato un insieme di elementi distinti, è sempre possibile riscriverlo ordinando i suoi elementi dal più piccolo al più grande.

Si può dimostrare che la mappa che associa a un sottoinsieme di elementi distinti e ordinati di N il numero intero di k cifre strettamente crescenti è una biezione, garantendo l'uguaglianza tra il numero di sottoinsiemi di cardinalità k e il numero di interi positivi di k cifre strettamente crescenti.

Riassumendo: il numero di interi positivi a k cifre strettamente crescenti è $9Ck$ con $k\in N$. Sommando $9Ck$ per k da 1 a 9, otteniamo il numero richiesto:

$\sum_{k=1}^{9}9Ck=2^9-1=511$

Per il secondo non ho ancora trovato una formalizzazione tale da risolverlo. :/

Perfetto! Anch'io l'ho pensata cosí

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Non c'è simmetria però, da destra a sinistra sono il doppio

Cordialmente, Alex

Non c'è simmetria però...

Vero! Non c'è simmetria per via dello zero alle unità! Epperò, ancora non ho una soluzione per il quesito 2.

Anche io non ho soluzione per il quesito 2; la risposta che davo al primo differisce leggermente da quella di Mathita.

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Ammettendo che con la scritta $9Ck$ si intenda quello che io indico con $C_(9,k)$, escluderei anche $k=1$ perché con una sola cifra il verbo "aumentare" perde significato. La mia risposta è quindi $2^9-1-9=502$.

Aaargh, maledetta semantica!

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Come mi arrampico sugli specchi? Mmm, posso dire che la funzione identità da un singleton a sé stesso è strettamente crescente? I.E. $Id:{k}\to {k}$ è una funzione strettamente crescente? Mi verrebbe da dire di sì perché è una verità vuota.

Io la penso come te (e anche l'autore del problema )
Sono quelle verità "vacue" che piacciono tanto ai matematici

Mi ero ripromesso di occuparmi del secondo quesito oggi, ma, causa imprevisti, non sono riuscito a concludere nulla. La strategia che avevo in mente non funziona (o meglio, non sono riuscito a farla funzionare). La riporto in spoiler.

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Molto semplicemente scrivo l'espansione polinomiale di un generico numero naturale di n cifre, la elevo al quadrato e ricavo i coefficienti di $10^k$ per k da 0 a 2n. Fatto questo, avrei voluto usare la condizione imposta dal quesito: il coefficiente di $10^k$ deve essere minore o uguale a quello di $10^{k-1}$, per ogni k. I calcoli, sinceramente bruttini, non hanno prodotto il risultato sperato.

Propongo un idea un po' "calcolosa" per il secondo

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...

Ultima modifica di dan95 il 25/10/2022, 22:07, modificato 1 volta in totale.

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Claim: la risposta al quesito 2 è infinito numerabile.