Equazione e disuguaglianza

1)

$1/4{1/4[1/4(1/4x-1/4)-1/4]-1/4}-1/4=0$


2)

Provare che $1/2*3/4*5/6*7/8*...*99/100<1/10$



Cordialmente, Alex

Disuguaglianza

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$2*4*6*...*100 =(2*1) * (2*2)* (2*3)* ... *(2*50) = 2^50*50!$

$1*3*5...*99 = (99!)/(2*4*6*..*98) = (99!)/(2^49*49!)$

Quindi

$1/2*3/4*.. 99/100 = (99!)/(2^99*50!*49!) = 1/2^100* (100!)/(50!*50!)$

Approssimiamo con Stirling il fattoriale (l'errore per n=50 è minore del 0.2% e per n= 100 minore del 0.01% in difetto per cui la stima complessiva è in eccesso)

$n! approx sqrt(2*pi*n)*(n/e)^n$

$= 1/2^100 * (sqrt(2*pi*100)*(100/e)^100)/(2*pi*50*(50/e)^100)= 1/(5*sqrt(2*pi))< 1/10$

Equazione

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$ 1/4{1/4[1/4(1/4x-1/4)-1/4]-1/4}-1/4=0 $

$1/4[1/4(1/4x-1/4)-1/4]-1/4 = 1$

$[1/4(1/4x-1/4)-1/4]=5$

$(1/4x-1/4)=21$

$x=85$

2)

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$1/2 3/4 ... 99/100 = \prod_{n=1}^50 (2n-1)/(2n) < 1/10$

Al quadrato:
$\prod_{n=1}^50 ((2n-1)/(2n))^2 < 1/100$

$\prod_{n=1}^50 ((2n-1)/(2n))^2 < \prod_{n=1}^50 (2n-1)/(2n) (2n)/(2n+1) = \prod_{n=1}^50 (2n-1)/(2n+1) = 1/3 3/5 5/7 7/9...99/101 = 1/101 < 1/100$


Per la prima disuguaglianza della riga precedente:

$(2n-1)/(2n) < (2n)/(2n+1) $

$4n^2 -1 < 4n^2$

Molto bene entrambi

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Stirling non è necessario (tra l'altro non so se al liceo viene insegnato).
Volendo anche la produttoria si potrebbe tralasciare.i
Ma son dettagli

Cordialmente, Alex