Lunghezza di un rotolo

Salve, vorrei sapere come è possibile calcolare la lunghezza lineare di un rotolo di carta in funzione del diametro più estreno e di quello più interno dell'anima in cui esso si avvolge... come granezze conosciute ho anche lo spessore della carta, il peso e la grammatura se occore
Grazie in anticipo!

Carino come problema... In pratica si tratta di sommare lunghezza di circonferenze il cui raggio "rimane costante per un solo giro della carta". Se $s$ è lo spessore della carta, $r$ il raggio "interno" e $R$ "esterno" si ha che la carta è spessa, al netto, $R-r$. Per ogni avvolgimento si ha un incremento di $s$ allo spessore netto, quindi il numero di avvolgimenti è dato da \((R-r)/s\). Allora la lunghezza lineare del rotolo dovrebbe essere \[l= \sum_{k=0}^{[(R-r)/s]}2 \pi (r+ks) \]a cui bisogna aggiungere quanto manca per completare l'ultimo giro, qualora cioè \((R-r)/s\) non fosse intero.

Con le notazione introdotte da Delirium direi che una buona approssimazione (per \(s\) piccolo) è
\[
l = \frac{\pi}{s}(R^2-r^2).
\]

In pratica si tratta di sommare lunghezza di circonferenze il cui raggio "rimane costante per un solo giro della carta".

Però scusa, anche se ovviamente sarà molto trascurabile, non sarebbe tutta una grande spirale?

In pratica si tratta di sommare lunghezza di circonferenze il cui raggio "rimane costante per un solo giro della carta".

Però scusa, anche se ovviamente sarà molto trascurabile, non sarebbe tutta una grande spirale?

Mi pare di sì. Si potrebbe trovarne l'equazione in forma polare (e dovrebbe essere una spirale archimedea ad un braccio), ma poi si tratterebbe di calcolare un integrale...

Si potrebbe trovarne l'equazione in forma polare (e dovrebbe essere una spirale archimedea ad un braccio), ma poi si tratterebbe di calcolare un integrale...

Non avevo risposto perché avevo anche io questo sospetto e in quel caso non avevo i mezzi per rispondere: si potrebbe parametrizzare per poi calcolare la lunghezza della curva parametrica, ma mi tiro fuori subito.

Comunque sbaglio o questo è - tipo - il thread più spostato di tutto il forum? Sono 3-4 volte che lo leggo e lo ritrovo sempre in una sezione differente...

Una domanda... Quali conoscenze (e relativi esami) sono necessari per rispondere a questo quesito? Geometria 2?

Direi analisi I: parametrizzi la spirale archimedea in coordinate polari e ne calcoli la lunghezza.

Con le notazione introdotte da Delirium direi che una buona approssimazione (per \(s\) piccolo) è
\[
l = \frac{\pi}{s}(R^2-r^2).
\]

Perché è solo una approssimazione?
Guardando il rotolo in modo da vedere la carta "dalla parte dello spessore" si vedono due cerchi concentrici: quello interno, vuoto, di raggio $r$; quello esterno, pieno di carta, di raggio $R$. Restando in questa prospettiva, l"area" occupata dalla carta è ovviamente la differenza tra le aree dei due cerchi, cioè uguale a $\pi (R^2 - r^2)$
Srotolando il tutto, la carta diventerà un rettangolo con un lato lungo $s$ e l'altro lato lungo $l$. Ovviamente l'area occupata non cambia, quindi:
$s*l=\pi (R^2 - r^2)$
$l=\frac{\pi}{s}(R^2 - r^2)$

L'approssimazione è dovuta al fatto che supponi che la carta non sia disposta a spirale, ma proprio lungo circonferenze concentriche. Ovviamente, per piccoli spessori, la differenza sarà minima.