Limite senza derivate & co.

otta(?)

Edit: niente sono fuso

@otta
Un pò tautologica come dimostrazione...

[*]

@Erasmus_First. Più che una dimostrazione mi sembra un'argomentazione...

a) Prima di una dimostrazione rigorosa, è bene (ragionando magari soggettivamente) arrivare alla convinzione che la tesi è giusta. Perciò, il constatare che (1/n)^(1/n) tende ad 1 per n intero sempre più grande è didatticamente molto utile.
b) Prima di fare "sperimentalmente" queste ... "verifiche numeriche", ho dato per scontato che (1/n)^(1/n) tende ad 1 al tendere di n a $+∞$.
Se uno accetta questo ... ha praticamente già finito dato che $e^0 = 1$ equivale a $ln(1)=0$.
c) Se invece vuole spiegato perché mai (1/n)^(1/n) tende ad 1 al tendere di n a $+∞$, allora ... ecco di seguito una dimostrazione che mi pare facile.
1) Si considerino le potenze di 2 che hanno per esponente ancora una potenza di 2, diciamole:
$p_n=2^(2^n)$ per n = 1, 2, 3, 4, ... ; e poi i loro reciproci, diciamoli $x_n = 1/p_n$.
2) Allora si trova:
$x_n^(x_n)=(1/p_n)^(1/p_n)= (1/2^(2^n))^(1/(2^(2^n))) =(1/2)^((2^n)/(2^(2^n))$.
3) Nell'ultimo membro di questa catena di uguaglianze, l''esponente di 1/2, cioè:
$(2^n)/(2^(2^n)) = 1/(2^(2^n-n)) $
tende evidentemente a zero al tendere dell'intero n a $+∞$, mentre $x_n$ tende a zero.
[Già per $n=4$, (cioè $2^n = 2^4 = 16$), abbiamo $x_4 = 1/(2^16) ≈ 0,0000152587890$... e
$x_4^(x_4)=(1/2^16)^(1/2^16) = (1/2)^((2^4)/2^16)= = (1/2)^(1/(2^12))= (1/2)^(1/4096) ≈0,99983...$].
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@ j18eos
Spero di essere stato chiaro e ... persuasivo!
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Ipotesi:

1. ieri, passando di qua per caso, mi sono accorto delle nuove risposte;
2. non avendo una memoria da elefante non ricordo cosa ricordavo o meno quel giorno;
3. non sono mai entrato in questa stanza comportandomi da bullo.

Tesi:

1. @anto_zoolander Simpatica dimostrazione.
2. @otta96 La mia dimostrazione inizia come la tua
3. @Erasmus_First Ha iniziato a scrivermi in terza persona (veda la sua precedente nota c), oppure sono "fuso"?
   Testo nascosto, fai click qui per vederlo
   A causa delle tecniche per costruire metriche hermitiane, su Higgs bundles sopra manifolds compatte di Kähler, mediante gli spazi di Hilbert complessi.
   Supponendo le ipotesi "che io sia fuso" e che la suddetta nota c contenga un errore di battitura siano verificate sono d'accordo con la tua nota a, e sono d'accordo che le verifiche numeriche hanno la loro utilità; ma sono del personale parere che queste costituiscano argomentazioni matematiche a favore o contrarie alla tesi da dimostrare.

Più in generale, la filosofia di questo esercizio è che non c'è bisogno di "usare i cannoni per uccidere le zanzare"; ad esempio la dimostrazione di veciorik è incredibilmente semplice...

[...] [*] @Erasmus_First Ha iniziato a scrivermi in terza persona (veda la sua precedente nota c) [...]

Hai ... frainteso!
[Tu invece, perché non dai del "tu" anche a me?]
Nella nota c) il soggetto (sottinteso) è lo stesso soggetto della'ultima proposizione della precedente nota b), cioè "uno".
Insomma: riprova a leggere dall'ultima frase della nota b):
«Se uno accetta questo ... ha praticamente già finito dato che $e^0=1$ equivale a $ln(1)=0$.
c) Se invece vuole spiegato perché mai (1/n)^(1/n) tende ad 1 al tendere di n a $+∞$, [...] »
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