[Analisi] Equazione funzionale

Trovare tutte le funzioni $f: RR \mapsto RR$ continue tali che
$$f(x+1)=e^{-|x|}f(x)$$

Distinguo la parte intera e quella decimale di $x$ ponendo
$x=n+u$
con $n$ intero e $0<=u<1$.
La presenza del valore assoluto consiglia di distinguere in due casi.

Caso $n>=0$
Si ha $x>=0->|x|=x$ e la formula di ricorrenza diventa
$f(x+1)=f(x)e^(-x)$
cioè $" " f(u+n+1)=f(u+n)e^(-(u+n))$
Dando ad $n$ i valori $0,1,2,...$ si ha
$f(u+1)=f(u)e^(-u)$
$f(u+2)=f(u+1)e^(-u-1)=...=f(u)e^(-2u-1)$
$f(u+3)=f(u+2)e^(-u-2)=...=f(u)e^(-3u-1-2)$
eccetera, che suggeriscono la formula generale
$f(u+n)=f(u)e^(-n u-1-2-...-(n-1))=f(u)e^(-n u-(n(n-1))/2)$
facilmente dimostrabile per induzione completa.
Per la continuità, $f(u)$ deve essere continua. Affinché ci sia continuità anche dove $n$ cambia di valore, occorre che la formula dia lo stesso risultato con $AAn;u=0$ e con $n-1;u=1$, cioè che sia
$f(0)e^(-n*0-(n(n-1))/2)=f(1)e^(-(n-1)*1-((n-1)(n-2))/2)$
A calcoli fatti, si ottiene $f(0)=f(1)$

Caso $n<0$
Si ha $x<0->|x|=-x$ e la formula di ricorrenza diventa
$f(x+1)=f(x)e^(x)->f(x)=f(x+1)e^(-x)$
cioè $" " f(u+n)=f(u+n+1)e^(-(u+n))$
Nei calcoli ho trovato comoda la sostituzione $n=-m$, tornando solo alla fine alla variabile data.
Ragionando come nell'altro caso, la formula finale è
$f(u+n)=f(u)e^(n u+(n(n-1))/2)$
Anche questa è dimostrabile per induzione completa; la continuità non modifica quanto già trovato.
Non inganni la somiglianza fra le formule dei due casi perché i valori di $n,u$ sono diversi; ad esempio, $2.36$ ha $n=2;u=0.36$ mentre $-2.36$ ha $n=-3; u=0.64$

Conclusione
Nell'intervallo $[0,1]$ si può scegliere una qualsiasi $f(x)$, purché continua e con $f(0)=f(1)$; la si prolunga poi fuori dall'intervallo con
$f(x)=f(n+u)={(f(u)e^(-n u-(n(n-1))/2) if x>=0),(f(u)e^(n u+(n(n-1))/2) if x<0):}$

Bravo