mcm

Quante coppie diverse di interi positivi ci sono che hanno $126.000$ come minimo comune multiplo?
Considero le coppie $(a,b)$ e $(b,a)$ come se fossero la stessa.

Cordialmente, Alex

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Visto che $ 126000=2^4*3^2*5^3*7 $ basta considerare la molteplicità con cui compaiono i fattori primi; queste sono ${1,2,3,4}$ ed allora la risposta dovrebbe essere, salvo errori di calcolo $473$. Non so se esista una procedura più spiccia, ho considerato dei $120 $ divisori di $ 126000 $, ordinatamente, quelli che non contengono alcun fattore primo con il massimo esponente che gli compete, quelli che ne contengono uno, due, tre o tutti, ottenendo:
$ 24(1+2/1+3/2+4/3+5/4)+ 24((2*3)/(1*2)+(2*4)/(1*3)+(2*5)/(1*4)+(3*4)/(2*3)+(3*5)/(2*4)+(4*5)/(3*4))$+
$ 120(4/5+3/4+2/3+1/2+1)=945$ coppie ordinate di soluzioni.
Visto che Alex chiede di non badare all'ordine, basta considerare che la sola coppia $ (126000, 126000) $ è formata da due fattori uguali per ottenere $ (945-1)/2+1=473 $.

Ciao

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Dato $N=p_1^(e_1)*p_2^(e_2)*...*p_n^(e_n)$, la formula per trovare il numero delle coppie cercate è questa:

$C=((2e_1+1)*(2e_2+1)*...*(2e_n+1)-1)/2+1$

Dato $N$ allora $a$ e $b$ avranno una forma simile cioè $a=p_1^(e_(1a))*p_2^(e_(2a))*...*p_n^(e_(na))$ e $b=p_1^(e_(1b))*p_2^(e_(2b))*...*p_n^(e_(nb))$ con $max(e_(ia),e_(ib))=e_i$.
Le coppie di esponenti possibili con quel massimo saranno $2e_i+1$ da cui la moltiplicazione vista sopra, che va divisa per due se l'ordine non conta; prima di dividere però va tolta la coppia $a=b=N$ e aggiunta al risultato.

Cordialmente, Alex