Distanze intere dai vertici e dai lati

Dato il triangolo che in una opportuna unità di misura ha i lat lunghi [a, b, c ] = [345, 460, 575], determinare un punto interno P le cui distanze dai vertici e dai lati siano tutte intere.

P.S.
Domanda alla quale non so ancora rispondere:
«Quanti [e quali] sono i punti interni di questo triangolo con distanze tutte intere sia dai vertici che dai lati?»
_______

Il punto rispetto a quale sistema di riferimento? Origine coincidente con uno dei vertici?

Per la domanda di DoMinO, direi che il sistema di riferimento può essere scelto a piacere, basta dire come. Può anche non essere necessario; ad esempio, la risposta può essere l'incentro del triangolo (ma non lo è).
Non riesco ancora a risolvere il problema e scrivo solo le poche cose che finora ho visto:
- si tratta di un triangolo rettangolo, ottenuto da quello di lati 3, 4, 5 moltiplicando i lati per 115 = 5 * 23. Volendo introdurre un sistema di riferimento, conviene evidentemente farlo con i cateti sugli assi cartesiani;
- se per "punto interno" si intende "bordi compresi", sono soluzione i tre vertici. Questo vale anche se i numeri 3, 4, 5 sono moltiplicati solo per 5; l'ulteriore moltiplicazione per 23 fa supporre che allora ci sia anche almeno un'altra soluzione, che però non ho ancora trovato.

Ho quasi voglia di arrendermi e di pensare ad una soluzione al computer.

Qualcosa ho in mente. Appena posso ci ragiono

@giammaria
Arrenditi!

A me ne viene uno solo ...

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Disponendo il triangolo nel primo quadrante con i cateti sugli assi e quello corto orizzontale, le coordinate di $P$ sono $x=105$ e $y=100$

Cordialmente, Alex

A me ne viene uno solo ...

Visto che l'hai trovato senza sapere che è un punto con una precisa proprietà caratteristica (cioè: anche lui è il centro di qualcosa, analogamente al circocentro, al baricentro, all'incentro e all'ortocentro , potresti anche rispondere alla seconda domanada, cioè se è l'unico punto a distanze intere sia dai vertici che dai lati o se ce ne sono altri e allora quali sono.
Siccome il triangolo è rettangolo basta un programmino miserello con due FOR uno dentro nell'altro per beccare tutte le coppie di interi coordinate di punti interni (cioè: punti a distanza intera dai cateti) e verificare se sono intere o no le distanze dai vertici e dall'ipotenusa.
Una volta – ormai molti anni fa – programmavo in turboPascal per Macintosh. Il Pascal è un like-english comprensibile anche a chi non l'ha mai incontrato prima.
Dunque ...

Codice:

[...]
var  h, k, m, n: integer;
x, y, z, w: real;
OK: boolean;
begin
 n:= 0;
 for h:=2 to 459 do
 begin
    m:= round(h*3/4);
    for k:=1 to m do
    begin
      x:=sqrt(h^2 + k^2);  y = sqrt((460-h)^2 + k^2); z:= sqrt(460-h)^2 + (345-k)^2);
      OK:= (1,0*rond(x) = x) and (1.0*round(y = y) and (1.0*round(z) = z));
      if OK then
      begin
        w:=sqrt(2((xz)^2+(575*x)^2 +(575*z)^2) -(x^4+z^4+575.0^4)/(2(y+z+575));
         OK.=1.0*round(w)=w):
         if OK then
          begin
             n.=n+1;
             write('P(',n,'): [x, y] = [',460-h,', k,'}', chr(13))
           end
        end
      end
   end;
  while non keypressed do
end.

@ giammaria

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Hai colto di colpo che si tratta d'una terna pitagorica multipla della [3, 4, 5], cioè [345, 460, 575] = 115·[3, 4, 5] e che 115 = 5·23.
Dunque nel triangolo di lati [3, 4, 5] c'è un punto P tale che le sue distanze dai vertici e dai lati sono razionali e il loro denominatore comune o è 115 o è un divisore di 115.
Se consideri tre cerchi tangenti a due a due e di raggi rispettivi 1, 2 e 3, vedi subito che i loro centri stanno nei vertici del triangolo di lati [3, 4, 5]. Incastrato tra i tre cerchi tangenti a due a due ci può stare un cerchietto tangente a tutti gli altri tre. Sia r il raggio di questo cerchietto. Il suo centro dista 1 + r da un vertice, 2 + r da un altro e 3 + r dal terzo.
Quando vale questo r?
Beh: t'ho detto anche troppo!

Ciao, ciao.
______

Ultima modifica di Erasmus_First il 27/02/2018, 01:00, modificato 1 volta in totale.

... potresti anche rispondere alla seconda domanada, cioè se è l'unico punto a distanze intere sia dai vertici che dai lati o se ce ne sono altri e allora qquali sono. ...

Mi pare di aver già risposto, no?

Delle migliaia di punti "notevoli" di un triangolo conosco giusto quei quattro ( ) più l'excentro (si dice così ?), anzi, no ... mi ricordo che qualche tempo fa avevo letto delle proprietà che aveva il punto medio del segmento che collega l'ortocentro con il circocentro ... sai quali sono? Anzi, modifico: sapete quali sono? (a te non lo chiedo perchè lo sai di sicuro ... )

Cordialmente, Alex

Mi sono ricordato di un cerchio citato tempo fa da orsoulx in una discussione sul Sangaku e sarebbe ...

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

... il cerchio di Apollonio, che è un cerchio tangente ad altri tre cerchi a loro volta tangenti a due a due.
Il raggio di questo quarto cerchio si può ricavare da quello degli altri tre e in questo caso vale $30$ ...

Cordialmente, Alex

Domanda: dallo script risulta quell'unico punto?

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

In sintonia con Alex, ritengo che Erasmus abbia trovato le misure dei lati proposti, partendo dalla terna pitagorica $ 3, 4, 5 $ e cercando il centro $ P $ della circonferenza tangente esternamente alle tre circonferenze, a coppie mutuamente tangenti, aventi centro in un vertice e raggio uguale ai segmenti di tangenza condotti da quel vertice alla circonferenza inscritta nel triangolo. Le distanze di $ P $ dai vertici del triangolo saranno sicuramente razionali: si dimostra facilmente che questo avviene sse l'area del triangolo è razionale, e questo è, ovviamente, vero per un triangolo pitagorico. Il passaggio dai razionali agli interi ha imposto le misure presentate.
Con un po' di algebra elementare si può dimostrare che, partendo da una qualsiasi terna pitagorica primitiva di generatori $ {n,m} $, lati $ a=m^2-n^2, b=2nm, c=n^2+m^2 $, semiperimetro $p=m(m+n) $, raggio del circonferenza inscritta $ r=n(m-n) $, per ottenere distanze intere basta moltiplicare i lati per $ k=3p+c $ ed il rettangolo avente per lati le distanze di $ P $ dai cateti sarà diviso da una sua diagonale in due triangoli pitagorici $ r cdot {m, n+2m} $.
Per la terna $ 3, 4, 5 $ di generatori $ {1,2} $, abbiamo $ k=23, r=1 $ da cui risulta $ {2,5} rightarrow 21, 20, 29 $. L'ulteriore moltiplicazione per $ c=5 $ consentirà di rendere intera anche la distanza dall'ipotenusa: il punto $ P $ disterà quindi $ 105 $ dal cateto pari e $ 100 $ da quello dispari.
NB Nel caso in cui $n$ sia pari si possono ridurre le misure dividendole per $ n$.
Una costruzione simile (con qualche prodotto aggiuntivo) è applicabile a qualsiasi triangolo di lati ed area interi.

Ciao