Due e Uni

Sia $n$ un numero naturale.

Dimostrare che $2^n$ ha almeno un multiplo la cui rappresentazione decimale contenga solo le cifre $1$ e $2$.


Cordialmente, Alex

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Per induzione: si supponga che $2^k$ abbia un multiplo siffatto, e per di più formato da $k$ cifre (per $n=1$ è vero: $2$ è multiplo di se stesso e ha una sola cifra). Chiamiamo $m$ tale multiplo.
Ora, $m$ diviso $2^{k+1}$ ha resto $0$ oppure $2^k$. Se il resto è $0$ ho finito, ma per continuare l'induzione devo trovare un multiplo che abbia $k+1$ cifre, quindi prendo $m + 2*10^{k}$. Se il resto è $2^k$ prendo $m + 10^{k}$.

La mia soluzione è molto simile ...

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Anche la mia si basa sull'induzione su $n$ sui multipli di $n$ cifre.
Il passo base lo hai già dimostrato tu, per quello induttivo ipotizziamo che $m=k*2^n$ sia un multiplo di $2^n$ composto da $n$ cifre.
Scrivendo la cifra $1$ o $2$ davanti alle cifre di $m$ è come se avessimo $a_1=m+2^n*5^n$ o $a_2=m+2*2^n*5^n$.
Quindi avremo formato un nuovo numero "lungo" $n+1$ cifre composto solo dalle cifre $1$ e $2$.
Se $k$ è dispari avremo che $a_1=k*2^n+2^n*5^n=2^n(k+5^n)=k_1*2^n$ dove $k_1$ è pari perciò $a_1$ è divisibile per $2^(n+1)$
Se $k$ è pari avremo che $a_2=k*2^n+2*2^n*5^n=2^n(k+2*5^n)=k_2*2^n$ dove $k_2$ è pari perciò $a_2$ è divisibile per $2^(n+1)$

Cordialmente, Alex