Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Sia $x \in (0,1]$. Dimostrare che
\begin{equation}
x^{nx} \leq x^{n+1}-x+1
\end{equation}
per ogni $n \in \mathbb{N}$.
\
{\itshape Soluzione}
\
Procediamo per induzione, verifichiamo prima che la tesi vale per $n=0,1$.
\
Con $n=0$ la (1) diventa
$$1 \leq 1$$
certamente vera, mentre per $n=1$
abbiamo
\begin{equation}
x^x \leq x^2-x+1
\end{equation}
Ora, supponiamo per assurdo esista $\xi \in (0,1)$ tale che
$$\xi^{\xi}> \xi^2-\xi+1$$
allora esiste un intorno destro (se fosse sinistro si procede in modo analogo) $(\xi, \xi+\delta) \subset (\xi,1]$ con $\delta>0$ in cui non vale (2), per la {\itshape proprietà archimedea} dei numeri reali si dimostra che esiste almeno un numero razionale tale che $\xi < \frac{p}{q} <\xi+ \delta$, con $p<q$ interi positivi coprimi, quindi
$$\left(\frac{p}{q}\right)^{\frac{p}{q}} > \left(\frac{p}{q}\right)^2-\frac{p}{q}+1$$
da cui
\begin{equation}
q^{2q-p}p^{p} > (p^{2}-pq+q^{2})^{q}
\end{equation}
Per la disuguaglianza AM-GM abbiamo che
$$q^{q-p}p^{p} \leq \left(\frac{p^{2}+q(q-p)}{q}\right)^{q}$$
dunque moltiplicando entrambi i membri della disuguaglianza per $q^{q}$ otteniamo
$$q^{2q-p}p^{p} \leq \left(p^{2}+q(q-p)\right)^{q}$$
in contraddizione con la (3), concludiamo, che per ogni $x \in (0,1]$ vale (2).
\
Ora, supponiamo valga per $n$, vogliamo dimostrare che vale anche per $n+1$, notiamo che (?) per ogni $x \in [0,1]$ vale
$$(x^2-x+1)(x^n-x+1) \leq x^{n+1}-x+1$$
d'altra parte sappiamo che $x^{x} \leq (x^2-x+1)$ e $x^{(n-1)x} \leq (x^n-x+1)$, dunque
$$x^{nx}=x^{x}x^{(n-1)x} \leq x^{n+1}-x+1$$
come volevamo dimostrare.
Non fate caso alla numerazione sbagliata delle equazioni