Disuguaglianza AH - AM ?

Buongiorno ragazzi, stavo provando a svolgere questo esercizio
Siano $x,y,z > 0.$ Dimostrare che $1/x +1/y + 1/z > 2/(x+y) + 2/(y+z) + 2/(z+x) > 9/ (x+y+z) $
Nella soluzione si dice di utilizzare la disuguaglianza AH - AM. Ero a conoscenza della disuguaglianza AM- GM ma questa non ho idea di cosa sia. Sapreste aiutarmi? Grazie

AH è la media armonica fra gli $n$ numeri positivi $x_1, x_2...x_n$. E' l'inverso della media degli inversi, cioè è definita da

$AH=n/(1/x_1+1/x_2+...+1/x_n)$

e vale la diseguaglianza $AH<=AM$ (si ha l'uguale solo se i numeri sono uguali fra loro).

Grazie mille, gentilissimo!