Esiste una funzione che ...

Esiste una funzione definita e continua su tutto $RR$ tale che il suo grafico intersechi ogni retta non verticale in infiniti punti?

Cordialmente, Alex

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

$f(x)=\{(x sin(1/x) if x!=0),(0 if x=0):}$
può andare?

No.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Per esempio, la retta $y=5-x$ incontra la tua $f(x)$ in un punto solo, approssimativamente in $x=4.01033$

Cordialmente, Alex

Non è una risposta ma solo un'osservazione:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Una tale funzione non può essere localmente lipschitziana in nessun punto. Comunque secondo me c'è.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Fondamentalmente basta considerare una funzione

$f(x)=xg(x)$ dove $xg(x)=xm$ è risolta per $x=0$ e quindi per $xne0$ basta che $g(x)=m$ infinite volte

inoltre può bastare che sia definita in $0$ e valga $0$ di fatto poi $h(x)={(f(x) if xgeq0),(0 if x<0):}$ sarebbe continua

Quindi consideriamo $f(x)=x^2sinx$ in $xgeq0$ e $y=mx$ che si intersecano in $x=0$

Per $x>0$ abbiamo che $x^2sinx=mx <=> xsinx=m$

Poiché la funzione $f_1:(0,+infty)->RR$ è continua e illimitata su un connesso allora l’immagine dovrà essere connessa e quindi tutto $RR$; esiste pertanto $x_1 in (0,+infty)$ per cui $f_1(x_1)=m$

Allo stesso modo $f_2:(x_1,+infty)->RR$ continua ad essere continua e illimitata su un connesso e l’immagine sarà ancora tutto $RR$ per cui esiste $x_2>x_1$ per cui $f(x_2)=f_2(x_2)=m$

Per induzione si dimostra che esiste una quantità infinita di $x_i$ distinti per cui vale quella uguaglianza

PS: con illimitata intendo sia superiormente che inferiormente

Hola anto, cosa ci fai da queste parti?

Pensi veramente che abbia capito la tua risposta? ... comunque prima di proseguire ti chiederei una cosa ...

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Hai dimostrato che vale per ogni retta $mx+q$ o solo per quelle che passano per l'origine $mx$ ?

Comunque …

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

La funzione $f(x)=x^2sin(x)$ è "racchiusa" tra $x^2$ e $-x^2$ che tocca nei punti $pi/2+2kpi$ e $3/2pi+2kpi$
Dato che $lim_(x->infty) (mx+q)/x^2=0$, per $x$ sufficientemente grandi avremo $|(mx+q)/x^2|<1$ ovvero $-x^2<mx+q<x^2$.
Di conseguenza la retta $y=mx+q$ intersecherà la nostra $f(x)$ in ciascun intervallo $(pi/2+2kpi, 3/2pi+2kpi)$ per $k$ sufficientemente grandi.

Ciao, anto

Ero convinto che fosse per l’origine
Lo stesso identico ragionamento vale per qualsiasi retta comunque

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

dai che l’hai capita
Comunque la sostanza del discorso è che ogni restrizione della funzione $f:(0,+infty)$ con $f(x)=xsinx$ ad un sottoinsieme del tipo $(a,+infty)$ rimane continua e con immagine $RR$ quindi ogni restrizione passa per $m$.

La cosa della connessione può essere sostituita tranquillamente da “per il teorema dei valori intermedi”

Il giochino di prendere la restrizione in quel modo serve per essere sicuro di trovare tutte le soluzioni distinte.

Per ora per allenarmi con la topologia cerco di applicarla ovunque

@anto

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

… dai che l’hai capita …

Fino a qui …

Quindi consideriamo $ f(x)=x^2sinx $ in $ xgeq0 $ e $ y=mx $ che si intersecano in $ x=0 $

Ciao e buona notte, Alex

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

una cosa del tipo $\f(x)=x^2 sin(x)$ può andare?

EDIT: è già stato scritto, peccato

Basta prendere una spirale: \(\gamma : \mathbb R \to \mathbb R^2 : t \mapsto (t\cos t, t\sin t)\).