Salve, avevo alcuni dubbi su un problema assegnato durante la seconda prova scritta di matematica per l'ammissione alla Scuola Galileiana di Padova per l'a.a. 2016/17. Vi prego di aiutarmi
.
"Sia n un intero positivo pari, e si consideri un poligono regolare Pn con n lati e con i vertici numerati in senso orario da 1 a n. Sia k un intero positivo minore o uguale a n. Dato un insieme di k vertici X chiamiamo Xopp l’insieme costituito dai vertici
che sono opposti ai vertici in X rispetto al centro di Pn (per esempio, se n = 6, k = 3, e X = {1, 2, 3}, allora Xopp = {4, 5, 6}, e se invece X = {1, 2, 4}, allora Xopp = {1, 5, 4}).
i) Calcolare, per ogni n e k come sopra, il numero a(k ad apice)(n a pedice) degli insiemi X costituiti da k vertici e tali che X = Xopp.
ii) Si consideri ora per ogni intero positivo m il polinomio gm(x) = x^(m−1) +· · ·+x+ 1 (per cui per esempio g1(x) = 1, g2(x) = x + 1 etc...). Dimostrare che per ogni n e k come sopra vale:
limx→−1 [gn(x) gn−1(x)· · · gn−k+1(x)] / [gk(x) gk−1(x)· · · g1(x)] = a(k ad apice)(n a pedice)"
Soluzione i):
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Il "coefficiente binomiale" permette di calcolare il numero di sottoinsieme di k elementi formati a partire da un insieme di n elementi, nel nostro caso. Cosa si intende, esattamente, per "insieme X lasciato fisso da F"?
Soluzione ii):
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Nella soluzione non capisco cosa significhi "insieme lasciato fisso da F" e come si arrivi a quel coefficiente binomiale (ora credo di aver iniziato a capire che, per definizione, il coefficiente binomiale permette di calcolare il numero di sottoinsiemi). Grazie a chiunque mi aiuterà! P.S. lascio il link con testo originale con annessa soluzione, il problema è l'esercizio 5:
http://unipd-scuolagalileiana.it/sites/ ... 202016.pdf
Ultima modifica di
gioxshadow il 09/07/2019, 09:45, modificato 1 volta in totale.