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Cardinalità di un insieme discreto

MessaggioInviato: 08/10/2022, 00:36
da Mathita
Questo quesito nasce dall'esigenza di generalizzare un problema proposto da Axpgn. Non ho ancora trovato una soluzione, e se vogliamo dirla tutta non so nemmeno se esiste una soluzione elementare.

Siano $n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$ ed $N=\{1,2,...,n\}$. Definiamo l'insieme $$S_n=\{(x,y) \in N\times N : x^2-4y\ge 0\} $$ Determinare la cardinalità di $S_n$, al variare di n.

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Una mezza idea buttata un po' a caso: avevo iniziato a ragionare in termini continui, avevo cioè considerato l'insieme $S=\{(x, y)\in [1,n]^2: x^2-4y\ge 0\}$ e ho tentato di contare i punti a coordinate intere di S, al variare di n. Chiaramente non ci sono riuscito. :)

Re: Cardinalità di un insieme discreto

MessaggioInviato: 08/10/2022, 08:55
da otta96
Ma è sempre infinito.

Re: Cardinalità di un insieme discreto

MessaggioInviato: 08/10/2022, 09:23
da Mathita
In che senso è infinito? $S_n\subseteq N\times N$, dunque $|S_n|\leq n^2$

Re: Cardinalità di un insieme discreto

MessaggioInviato: 08/10/2022, 09:26
da Mathita
Ah, forse ho usato una combinazione infelice di lettere. Quella N può essere confusa con $\mathbb{N\}$.

Re: Cardinalità di un insieme discreto

MessaggioInviato: 08/10/2022, 09:33
da megas_archon
Ma la regione di piano in cui la disuguaglianza vale è illimitata... perciò conterrà un numero infinito di punti a coordinate intere.

Re: Cardinalità di un insieme discreto

MessaggioInviato: 08/10/2022, 09:41
da Mathita
$S$ è contenuto nel quadrato $[1,n]^2=[1, n]\times [1, n]$. Chiedo scusa per tutte le incomprensioni: avrei dovuto scrivere meglio il quesito.

Re: Cardinalità di un insieme discreto

MessaggioInviato: 08/10/2022, 11:23
da otta96
Si avevo confuso $N$ con $NN$.
Dopo ci ripenso un po'.

Re: Cardinalità di un insieme discreto

MessaggioInviato: 08/10/2022, 22:04
da axpgn
@Mathita
Beh, sai già che per $n=6$ la cardinalità è $19$ :-D

Potresti partire da qui :D

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Cordialmente, Alex

Re: Cardinalità di un insieme discreto

MessaggioInviato: 08/10/2022, 22:27
da axpgn
La mia impressione è che la cardinalità aumenti di $n$ più una quantità che aumenta sempre più ma più lentamente di $n$

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Re: Cardinalità di un insieme discreto

MessaggioInviato: 08/10/2022, 22:54
da axpgn
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axpgn ha scritto:La mia impressione è che la cardinalità aumenti di $n$ più una quantità che aumenta sempre più ma più lentamente di $n$
però questa quota ulteriore si avvicina sempre più a $n$, quindi mi verrebbe da concludere che tenderebbe ad aumentare di $2n$.
Forse ... :-D

$n$$|S|$
10
21
33
47
512
619
727
837
949
1062
1177
1294
13112
14132
15154
16178
17203
18230
19259
20290