Raddoppio e shifting

Consideriamo la funzione $s:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ che opera sulle cifre nel seguente modo: mette la prima cifra (quella delle unità) davanti all'ultima. Per fare qualche esempio $s(1234)=4123$ oppure $s(23)=32$, $s(210)=21$ e così via.
a) Trovare il più piccolo numero $n$ tale che verifichi $2n=s(n)$ (almeno 1 esiste)
b) Quanti sono questi numeri?
La domanda è posta nel naturale contesto della base 10, ma trovata la soluzione per la base 10 si ha il metodo per ogni base (è solo questione di rifare i conti)

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Tipo questo $105.263.157.894.736.842$ ?

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Corretto! Sai dirmi come lo hai trovato, quanti ce ne sono e come sai che lui è proprio il minimo?

È lunga, se avrò tempo lo scriverò; comunque c'è già un thread in questa sezione a riguardo, ritrovarlo è dura

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Sia $n$ il numero cercato, sia $u$ la cifra delle unità di $n$ e sia $a$ il numero $n$ a cui abbiamo tolto la cifra delle unità.
Allora è $n=10a+u$ e invece $u*10^x+a$ il nuovo numero ottenuto spostando la cifra delle unita dalla fine all'inizio, dove $x$ è il numero delle cifre di $a$.
Detto $k$ il moltiplicatore, allora dovrà essere $k(10a+u)=u*10^x+a$ da cui si giunge a $n=u(10^e-1)/(10k-1)$ dove $e=x+1$.
Da quest'ultima formula, per ogni $u$ e $k$ è possibile determinare (con pazienza ) quando $n$ è intero (ce ne sono infiniti).
Si può aggiungere che per $u=2,4,5,8$, queste cifre sono relativamente prime con il denominatore quindi $e$, in questi casi, dipende solo da $k$ e non da $u$ (per le altre cifre si può comunque costruire una tabella di congruenze).

Anni fa, avevo proposto io questo quesito, su un altro forum. Riscrivo in breve sia la soluzione che ne davo io, sia quella di un altro utente (che trovo più bella della mia ed è simile a quella di axpgn, ma migliorata).

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Soluzione mia
Partendo da fondo, indico con $a_1,a_2,..., a_n$ le cifre di $n$; poiché $2n=s(n)$ ho la formula
$2*(a_na_(n-1)...a_3a_2a_1)=(a_1a_na_(n-1)...a_3a_2)$
A primo membro, do un valore ad $a_1$ e moltiplicandolo per 2 trovo $a_2$ nel secondo membro. Lo sostituisco a primo membro e continuando la moltiplicazione trovo $a_3$, eccetera. Scrivo le cifre man mano ottenute, facendo un segno sulla cifra quando c'è un riporto. Esempio: se $a_1=3$, allora $a_2=2*3=6$; per $a_3$ debbo fare $2*6=12$, quindi $a_3=2$ col segno di riporto; per $a_4$ il calcolo è $2*2+1=5$ perché c'era il riporto, eccetera.
Continuo così finché, tenendo conto anche del segno, non ritrovo $a_1$: a questo punto posso dare la soluzione oppure posso continuare fino ad un altro ritrovamento.

Altra soluzione
Definiamo due numeri $n_1,s_1$ in questo modo: spostiamo egualmente verso sinistra la virgola di $n,s(n)$, finché la cifra spostata $u$ diventa quella dei decimi in $s(n)$; poi ripetiamo periodicamente i numeri così ottenuti. Ad esempio, se $n=123; s(n)=312$, allora $u=3; n_1=0,123123...; s_1=0,312312...$.
Si ha allora $10s_1=u+n_1$ e poiché $s_1=2n_1$
$20n_1=u+n_1->n_1=u/19$
che dice che $n$ è il periodo di questa divisione, da solo o ripetuto più volte.
La cifra $u$ può variare solo da 2 a 9; infatti con $u=0$ la prima cifra di $s(n)$ è nulla e perciò $s(n)<n$, in contrasto con $s(n)=2n$. Con $u=1$ è nulla la prima cifra di $n$ e quello zero iniziale viene tolto da $n$ ma è necessario in $s(n)$.