Strana sucessione, Quand'è che converge?

Sia k reale e positivo.
Si consideri la successione
{an} = a0, a1, a2, a3, ...
drfinita ricorrentemente come segue:
a0 = k; ∀n ∈ N an+1 = k^(an).
Per quali k converge tale successione?

Bentornato Erasmus

Mi pare di poter affermare che $k=1$ funzioni, poi vedremo ... forse ...

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Da esperimenti fatti ( ) converge per $k<=2$
Comunque questo problema si ricollega a quello classico della "torre" di $2$, che si trova anche qui da qualche parte

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E' un problema la cui soluzione è facile da pensare graficamente. Ovviamente è interessante solo per $k>1$, perchè altrimenti è chiaro che la successione converga. Chiama $f_k(x)=k^x$. Ti stai chiedendo quando l'iterata $n$-esima di $k$ sotto questa funzione converge; se questo accade ed il limite è \(\ell\), allora \(f_k(\ell)=\ell\), per continuità di $f_k$. Quindi necessariamente l'equazione $k^x=x$ deve avere almeno una soluzione. Ora, com'è fatta la fuzione $g_k(x)=f_k(x)-x$? La derivata ha un solo zero, che è $x_0=-\log_k(\log k)$. Siccome $g_k(0)=1$ e $g_k(x)\to +\infty$ quando $x\to \infty$, ciò significa che (per ogni $k$ fissato) $g_k$ decresce fino a $x_0$ e poi cresce. Ora, quando $g_k(x_0)>0$ l'equazione $f_k(x)=x$ non ha radici, quindi la successione diverge (dal momento che è monotona crescente). Che succede quando $g_k(x_0)\le 0$? Intanto se uno disegna il grafico della funzione (della variabile $k$) $y=g_k(x_0)$, si accorge che ha un unico zero, chiamiamolo $k_0$. Si vede anche che è $>1$. Quando $1<k<k_0$ succede che $g_k(x_0)<0$ e quindi dall'analisi fatta in precedenza ci sono due valori $x_1$ e $x_2$ tali che $g_k(x_i)=0$ per $i=1,2$. Adesso disegnando un altro grafico ci si accorge che per i valori di $k$ che sono compresi tra $1$ e $k_0$, si ha necessariamente $k<x_0$, e dal momento che ovviamente $g_k(k)>0$ si deve necessariamente avere $1<k\le x_1$ Ciò significa che iterando $f_k(x)$ a partire da $k$ si andrà necessariamente a schiantarsi contro $x_1$. Anche di questo è facile accorgersi graficamente, ma anche in maniera più formale, siccome per ogni $a>1$ si ha $a^a>a$ la successione $a_n$ è necessariamente monotona crescente, e dall'altra parte siccome $k<x_1$ allora $k^k<k^{x_1}=x_1$, il che dimostra induttivamente che la tua successione è limitata da $x_1$. Ergo, ha un limite finito (che poi in effetti è proprio $x_1$). Tirando le somme, la tua successione converge se e solo se $k<k_0$. Graficamente si vede che $k_0$ vale all'incirca $1.4447$.

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Tra l'altro effettivamente si può proprio risolvere l'equazione $g_k(x_0)=0$ e si trova che $k_0=e^{1/e}$.

Ovviamente è interessante solo per $k>1$, perchè altrimenti è chiaro che la successione converga.

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Sembra di no, se $k$ è troppo piccolo la successione non converge. Cercando su internet "infinite tower power" si trovano tante cose.

Ovviamente è interessante solo per $ k>1 $, perchè altrimenti è chiaro che la successione converga.

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Sembra di no, se $ k $ è troppo piccolo la successione non converge. Cercando su internet "infinite tower power" si trovano tante cose.

Aaaah hai ragione, che sciocco. Quel che ho detto sopra allora è valido solo per $k\ge 1$.

Comunque anche per $k<1$ l'idea è la stessa: quando il punto fisso di $k^x$ è attrattivo, cosa che avviene per $k>e^{-e}$, localmente la mappa $k^x$ è una contrazione, quindi se si dimostra che $k$ è sufficientemente vicino al punto fisso, la successione converge. Viceversa per $k<e^e$ il punto fisso è repulsivo, e la successione non converge.

L'avevo un po' studiata anch'io anni fa, pare che sia pure l'inversa di $x^(1/x)$ dove è definita.