Cifre

Determinare tutti i numeri naturali $n$ tali che il prodotto delle loro cifre (in notazione decimale) sia pari a $n^2-10n-22$



Cordialmente, Alex

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Lemma: Ogni numero naturale $n$ è maggiore o uguale al prodotto $p$ delle sue cifre.
Se $n$ ha un'unica cifra, si ha ovviamente $n=p$. Se invece $n$ ha $k+1$ cifre (con $k>=1$), indico con $a$ la sua prima cifra e noto che il prodotto è massimo quando tutte le altre valgono 9. Quindi
$n>=a*10^k>a*9^k>=p$

Soluzione:: Il prodotto $p$ delle cifre non può essere negativo e deve valere il lemma: perciò $0<=p<=n$. Sostituendo a $p$ la formula data, ho il sistema
${(n^2-10n-22>=0),(n^2-10n-22<=n):}$
Limitando l'attenzione ai valori positivi, le soluzioni delle due disequazioni sono $n>=11,8; " " n<=12,1$, quindi l'unico intero che soddisfa il sistema è $n=12$.
Controllando, si vede che va bene; occorre fare il controllo perché il fatto che $n$ soddisfi il sistema è condizione necessaria ma non sufficiente per la $p=n^2-10n-22$.

Perfetto!