Volatili

Un passero, volando orizzontalmente in linea retta, si trova $50$ piedi direttamente sotto un'aquila e $100$ piedi direttamente sopra un falco.
Sia il falco che l'aquila volano direttamente verso il passero e lo raggiungono simultaneamente.
Il falco vola al doppio della velocità del passero (tutti gli uccelli hanno velocità uniforme).

a) Quanto lontano vola ciascun volatile?

b) A che velocità (rispetto agli altri) vola l'aquila?


Cordialmente, Alex

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Scritti i vettori posizione di ogni volatile: \[
\begin{aligned}
&\mathbf{r}_p=(0,0)+(1,0)\,v_p\,t\\
\\
&\mathbf{r}_a=(0,50)+(\cos\alpha,\sin\alpha)\,v_a\,t\\
\\
&\mathbf{r}_f=(0,-100)+(\cos\varphi,\sin\varphi)\,v_f\,t\\
\end{aligned}
\] ne consegue che i rispettivi incontri avvengano se e solo se: \[
\begin{aligned}
&\mathbf{r}_p=\mathbf{r}_a
\quad\Leftrightarrow\quad
\alpha=-\arctan\left(\sqrt{\frac{v_a^2}{v_p^2}-1}\right)
\quad\land\quad
t=\frac{50}{\sqrt{v_a^2-v_p^2}}\,;\\
&\mathbf{r}_p=\mathbf{r}_f
\quad\Leftrightarrow\quad
\varphi=+\arctan\left(\sqrt{\frac{v_f^2}{v_p^2}-1}\right)
\quad\land\quad
t=\frac{100}{\sqrt{v_f^2-v_p^2}}\,.\\
\end{aligned}
\] Pertanto, se l'incontro è simultaneo e \(v_f=2v_p\), si ha: \[
||\Delta\mathbf{r}_p||=\frac{100}{\sqrt{3}},
\quad\quad
||\Delta\mathbf{r}_a||=\frac{50\sqrt{7}}{\sqrt{3}},
\quad\quad
||\Delta\mathbf{r}_f||=\frac{200}{\sqrt{3}},
\quad\quad
\frac{v_a}{v_p}=\frac{\sqrt{7}}{2},
\quad\quad
\frac{v_a}{v_f}=\frac{\sqrt{7}}{4}.
\]

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La distanza percorsa dal falco dovrebbe essere $400/3$.
Quella del passero e' la meta', siccome va a meta' velocita'.

Questo risultato viene fuori da un sistema di ode, guardando la soluzione.

${ ( x'=-v_p/v_f + x/\sqrt(x^2+y^2) ),( y'= - y/\sqrt(x^2+y^2) ):}$

Il punto di partenza e' $(0, 100)$
Usando un solutore automatico, viene fuori una soluzione in forma chiusa, ma e' inguardabile.
Quindi ho fatto una simulazione numerica e ho arrotondato leggermente in modo da avere un risultato "bello" ,
ben sapendo che ovviamente c'e' anche la soluzione semplice...

@sellacollesella
No, non ci siamo.

@Quinzio
Le distanze percorse da falco e passero sono quelle ma mancano distanza e velocità dell'aquila ma soprattutto manca il percorso per arrivarci (la soluzione peraltro non è semplice )

Calma, calma, adesso ci arriviamo alla soluzione completa. (Almeno lo si spera.)

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${ ( x'=-v_p/v_f + x/\sqrt(x^2+y^2) ),( y'= - y/\sqrt(x^2+y^2) ):}$

E' la cicloide (o qualcosa di simile).
Il sistemino contiene quei termini che sono il seno e coseno, quindi si puo' riscrivere cosi':
${ ( x'=-0.5 + cos t ),( y'= - sin t ):}$

e poi si integra rispetto a $t$
${ ( x=-0.5t + sin t ),( y= C + cos t ):}$

viene quasi la curva della cicloide.
La differenza e' quel fattore 0.5 dovuto al rapporto tra le velocita' del passero e del falco.

... mmmm ... la soluzione che ho io è tutt'altro che semplice (almeno per me ), più complicata di quella di sellacollesella; inoltre tieni conto che è un problema comparso su una rivista matematica quasi un secolo fa quindi niente risolutori automatici né simulazioni per giungere alla soluzione esatta.