Spettro puntuale

Aspettate, non voglio fare casino, però sono da smart e mi viene difficile essere dettagliato. Io sono partito dall'idea che un autovalore $\lambda$ debba soddisfare $Tx=\lambda x$. Riscrivendo l'equazione per componenti diventa $(Tx)_k=\lambda x_k. $

La tentazione di dedurre $\lambda=1/(k^4+1)$ è molta, però lambda non può dipendere da $k$ (sempre per come interpreto io la traccia.)

Mathita, gli autovettori sono i vettori $e_k$ (che hanno $1$ nella $k$-esima componente e $0$ altrove).

Sì, vero @Martino. Mi sono accorto della cazzata qualche minuto dopo. Scusate, mi ritiro nella vergogna.

ma figurati

Era una osservazione corretta, perché io non ho mai detto chi fossero gli autovettori. Infatti, finora ancora non sappiamo se gli autovettori siano tutti e soli i vettori \(e_k\). Non lo abbiamo ancora dimostrato. Ce ne potrebbero essere degli altri.

Comunque, @Spook: per risolvere la questione dello zero, rileggi il mio primo messaggio per favore. "Lo spettro è chiuso..."

Perchè lo zero si trova nello spettro? Ha a che fare col fatto che lo spettro è chiuso?

Ma certo che si, l'ho già detto cento volte!



Come puoi usare questa informazione per concludere che \(0\) è nello spettro? Ricordati che già conosci gli autovalori.