Dubbio sulla convergenza delle Serie di potenze in C

Salve, avrei un dubbio per quanto concerne la convergenza sul bordo .

In R e cioè data la Serie della forma: $ suma_n(x-x_0)^n $ ,
per studiare se la Serie converga o meno sugli estremi dell'Intervallo di Convergenza, mi basta:
"Sostituire il punto $x=x_0+rho$ ed il punto $x=x_0-rho$ e studiarmi il comportamento della Serie numerica ottenuta a partire da quella Serie di funzioni"

Domanda: Ma in C e cioè data la Serie della forma $ suma_n(z-z_0)^n $ , come si ragiona?
Il Teorema di Convergenza delle serie di potenze ci dà info SOLO "sull'interno" del Cerchio di convergenza, ma per capire come si comporta la Serie sulla Frontiera di quel dominio come bisogna procedere?

Come n $RR$, cioè sostituendo nella serie i valori del bordo, solo che c'è tutta una circonferenza di valori da considerare invece che 2 soli.

Ok quindi in pratica:
mi basta:
1. sostituire "alla variabile $z$"
la Parametrizzazione $z(t)$ di una Circonferenza di Centro $z_0$ e raggio $rho$
2. per poi ottenere una Serie numerica in cui figura un parametro $t$ , con t che varia tra $0$ e $2pi$

3. A questo punto , riconosciamo il comportamento di una delle Serie numeriche notevoli
- nei due casi limite: $t=0$ e $t=2pi$
- e nel caso intermedio di un : $0<t<2pi$
Corretto?

Ultima modifica di CallistoBello il 27/12/2022, 11:30, modificato 1 volta in totale.

Ciao CallistoBello,

Una serie in $\CC $ del tipo $ \sum a_n(z-z_0)^n $ in generale converge nel cerchio $|z - z_0| < r $
Sul bordo sarà $|z - z_0| = r $ che è proprio l'equazione di una circonferenza di centro $C(x_0, y_0)$ e raggio $r$, infatti posto $z = x + iy $ e $z_0 = x_0 + iy_0 $ si ha:

$|(x - x_0) + i(y - y_0)| = r \iff (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2 $

Ok quindi in pratica:
mi basta:
1. sostituire "alla variabile $z$"
la Parametrizzazione $z(t)$ di una Circonferenza di Centro $z_0$ e raggio $rho$
2. per poi ottenere una Serie numerica in cui figura un parametro $t$ , con t che varia tra $0$ e $2pi$

3. A questo punto , riconosciamo il comportamento di una delle Serie numeriche notevoli

Giusto, solo che i casi interessanti da distunguere dagli altri dipnendono dala serie in questione, potrebbe essere $\pi$ come potrebbero anche non esserci affatto.