PDEs, trasformata di fourier

Salve a tutti. Stavo provando a risolvere il seguente esercizio:
$\partial_t f(x,t) = -e^{-t}f(x,t)-t\partial_x f(x,t), x \in ]-\infty, \infty[$ e $f(x,0) = \frac{e^{-x^2}}{1+x^2}$
Per risolverlo sono passato in trasformata di Fourier come al solito ottenendo:
$\frac{d}{dt}\hat{f}(k,t)= -e^{-t}\hat{f}(k,t)-t \hat{f}(k,t)ik$.
Da cui, dopo un po' di semplici conti arrivo a:
$$\hat{f}(k,t) = \hat{f}(k,0)e^{-1+e^{-t}-ik\frac{t^2}{2}}$$
Il problema sorge adesso poiché andando a calcolare $\hat{f}(k,0)$ ottengo:
$$\hat{f}(k,0) = 1 / \sqrt{2\pi} \int \frac{e^{-x^2}e^{-ikx}}{1+x^2}$$
E questo mi sembra davvero impossibile da risolvere, ho provato con varie sostituzioni ma non sono arrivato a nulla.
La soluzione del problema è: $f(x,t) = e^{-1+e^{-t}} \frac{e^{-(x-t^2/2)^2}}{1+(x-t^2/2)^2}$
Se qualcuno ha qualche idea, non esiti a dirmelo. La mia idea è che probabilmente c'è qualche trucco per non fare quel calcolo, o per farlo tipo in maniera molto semplice. Ringrazio chi si interesserà alla domanda

Ciao SteezyMenchi,

E questo mi sembra davvero impossibile da risolvere

Impossibile è una parola grossa...

$ \hat{f}(k,0) = 1/\sqrt(2\pi) \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,0) e^{-ikx} \text{d}x = 1/\sqrt(2\pi) \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{-x^2}}{1+x^2} e^{-ikx} \text{d}x = 1/\sqrt(2\pi) \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{-x^2 - i k x}}{1+x^2} \text{d}x = $
$ = 1/\sqrt(2\pi) \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{- (x + 1/2 i k)^2 - k^2/4}}{1+x^2} \text{d}x = e^{- k^2/4}/\sqrt(2\pi) \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{- (x + 1/2 i k)^2}}{1+x^2} \text{d}x $

Proverei col teorema dei residui, potresti dare un'occhiata anche al secondo esempio qui.