Dimostrazione formula di Eulero in forma chiusa

Buonasera, mi sto cimentando nel dimostrare la nota formula
$ e^{ix} = cos(x) + isin(x) $
I passaggi con la notazione estesa non mi lasciano alcun dubbio, tuttavia in forma chiusa ho qualche problema (penso a livello di indici).
Mi trovo dunque
$ e^{ix}=sum_{k=0}^infty(ix)^k/{k!} $
e da qui non saprei come continuare.
Andando a ritroso invece arrivo a
$ cos(x)=sum_{k=0}^infty(-1)^kx^{2k}/{(2k)!} $
$ sin(x)=sum_{k=0}^infty(-1)^kx^{2k+1}/{(2k+1)!} $
e dunque
$ cos(x) +isin(x)=sum_{k=0}^infty[(-1)^kx^{2k}/{(2k)!}+i(-1)^kx^{2k+1}/{(2k+1)!}]= $
$ =sum_{k=0}^infty\frac{(-1)^k[(2k+1)x^{2k}+jx x^{2k}]}{(2k+1)(2k)!}=sum_{k=0}^infty\frac{(-1)^kx^{2k}(2k+1+ix)}{(2k+1)(2k)!} $
e mi ritrovo quel fattore $ix$ a numeratore che se non ci fosse avrei risolto.
Dove sbaglio? Grazie a chi può aiutarmi

Ciao Ingegnato,

in forma chiusa ho qualche problema (penso a livello di indici)

Prova a distinguere nella sommatoria $\sum_{k = 0}^{+\infty}$ indici $k$ pari e indici $k$ dispari...

Dove sbaglio?

Più semplicemente farei così:
$cos(x) +i sin(x) = \sum_{k=0}^{+\infty} (-1)^k x^{2k}/{(2k)!}+i \sum_{k=0}^{+\infty} (-1)^k x^{2k+1}/{(2k+1)!} = $
$ = \sum_{k=0}^{+\infty} i^{2k} x^{2k}/{(2k)!}+i \sum_{k=0}^{+\infty} i^{2k} x^{2k+1}/{(2k+1)!} = \sum_{k=0}^{+\infty} i^{2k} x^{2k}/{(2k)!}+ \sum_{k=0}^{+\infty} i^{2k + 1} x^{2k+1}/{(2k+1)!} = $ $ = \sum_{k=0}^{+\infty} (ix)^{2k}/{(2k)!} + \sum_{k=0}^{+\infty} (ix)^{2k+1}/{(2k+1)!} = \sum_{k=0}^{+\infty} (ix)^{k}/{k!} = e^{i x}$

Perfetto, così è molto più chiaro. Grazie mille!