30/01/2024, 17:34
)andreadel1988 ha scritto:.
Dall'altra parte, per il teorema di Gauss: $\int_(\Omega) <x,\nabla u^2> dx=-\int_(\Omega) n u^2+\int_(\partial Omega)<x,nu>u^2=-\int_(\Omega) n u^2$ con $u in C_0^1(\Omega)$ (poichè $di v x=n$)
andreadel1988 ha scritto:$|-n\int_(\Omega) u^2 dx|<=2c(\Omega)(\int_(\Omega) |\nabla u|^2)^(1/2)(\int_(\Omega) |u|^2)^(1/2)$,
31/01/2024, 00:17
andreadel1988 ha scritto:Intanto volevo sapere se la dimostrazione cosi spiegata fosse giusta [...]
andreadel1988 ha scritto:[...] poi avevo alcuni dubbi su alcune parti:
1) $\Omega sub RR^n$ un insieme $C^1$ vuol dire che è regolare? Cioè cosa significa ?
andreadel1988 ha scritto:2)Perchè prendiamo $u in C_0^1(\Omega)$ mentre nell'enunciato $u in W_0^(1,2)(\Omega)$?
andreadel1988 ha scritto:3) Non ho ben capito come usa il teorema di Gauss e che la divergenza di $x$ sia uguale a $n$; in pratica non ho capito i passaggi:andreadel1988 ha scritto:.
Dall'altra parte, per il teorema di Gauss: $\int_(\Omega) << x,\nabla u^2 >> dx=-\int_(\Omega) n u^2+\int_(\partial Omega) << x,nu >> u^2=-\int_(\Omega) n u^2$ con $u in C_0^1(\Omega)$ (poiché $di v x=n$)
andreadel1988 ha scritto:4) Perché in:andreadel1988 ha scritto:$|-n\int_(\Omega) u^2 dx|<=2c(\Omega)(\int_(\Omega) |\nabla u|^2)^(1/2)(\int_(\Omega) |u|^2)^(1/2)$,
mette il modulo?
31/01/2024, 01:28
31/01/2024, 03:06
andreadel1988 ha scritto:1) perchè $ \int_(\partial Omega)<x,nu>u^2=0 $ ?
andreadel1988 ha scritto:2) nel punto 4) non ho proprio capito perchè c'è la necessità di fare il modulo (solo per non portarsi un segno appresso?), tant è che nel passaggio successivo $ \int_(\Omega) u^2 dx<=(2c(\Omega))/n(\int_(\Omega) |\nabla u|^2)^(1/2)(\int_(\Omega) |u|^2)^(1/2) $ il modulo non compare più.
31/01/2024, 10:42
gugo82 ha scritto:Dato che $u in C_0^1(Omega)$, quanto vale $u$ su $\partial Omega$? .
gugo82 ha scritto:P.S.: Stai studiando dall'Evans?
31/01/2024, 11:26
gugo82 ha scritto:Perché $C_0^1 (Omega)$ è denso in $W_0^(1,2) (Omega)$, quindi ogni funzione di Sobolev si può approssimare in norma $W^(1,2)$ con una successione di funzioni $C_0^1$; e, visto che i membri della disuguaglianza sono funzioni continue rispetto alla norma $W^(1,2)$, un passaggio al limite ti consente di dire che la disuguaglianza vale in tutto $W_0^(1,2)(Omega)$.
01/02/2024, 00:10
01/02/2024, 16:02
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