Calcolare la norma di un operatore

$ sup $ Salve a tutti. Ho il seguente esercizio: si consideri l'operatore lineare: $V : f(x) -> V(x)*f(x)$ dove
\[ V(x) = \begin{cases} x , & x \in [0,1/2] \\ 1-x ,& x \in [1/2,1] \end{cases} \]
nello spazio di Banach $L([0;1])$.
Si dimostri che:
a)$V(x)$ è limitato
b)si calcoli la norma di $V(x)$
Per dimostrare che $V$ è un operatore limitato penso si possa utilizzare il fatto che se $f=cost.=1$ allora $||V*f||_1<=||V||_2 * mis([0;1])^(1/2) <= Sup_(x in [0,1]) [||V||_2*(1-0)] = 1/4$ da cui $||V||_2=(1/4)^(1/2)=1/2$ quindi $V$ è limitato.
Nel mio libro viene utilizzata la funzione
\[ f_{\epsilon}(x)= \begin{cases} 0 , &|x-1/2| \ge \frac{\epsilon}{2} \\ \frac{1}{\epsilon^{1/2}}, & |x-1/2|< \frac{\epsilon}{2} \end{cases} \] cosicché l'integrale diviene \[ \|V f_{\epsilon} \|=\frac{1}{\epsilon} \int_{(1-\epsilon)/2}^{1/2} x^2dx+ \frac{1}{\epsilon} \int_{(1-\epsilon)/2}^{1/2}(1-x)^2dx \] e poi fa tendere il limite di epsilon a zero. Potreste spiegarmi il motivo per cui sceglie il dominio d'integrazione ed $f_(epsi)$ in questo modo ? Come è riuscito a capire che una funzione così definita restituisce la norma dell'operatore? Spero che qualcuno mi possa fornire dei chiarimenti.
Grazie in anticipo

Anzitutto ti ho sistemato un po' le formule (era ostico da leggere).

Tra quali spazi consideri l'operatore? $V : L^1 -> L^1$? Inoltre non mi è tanto chiaro come mai consideri $f = 1$ per dimostrare che l'operatore è limitato...

Nel caso in cui si stia considerando $L^2[0,1]$ (in effetti, il tentativo di soluzione non è molto comprensibile):

$[\int_{0}^{1}|f(x)|^2dx=1] rarr [\int_{0}^{1/2}x^2|f(x)|^2dx+\int_{1/2}^{1}(1-x)^2|f(x)|^2dx lt= 1/4]$

Per dimostrare che $1/4$ è proprio l'estremo superiore, visto che $[V(1/2)]^2=1/4$, si può considerare la classica funzione dipendente dal parametro $\epsilon$:

$[0 lt= x lt= 1/2-\epsilon/2] vv [1/2+\epsilon/2 lt= x lt= 1] rarr [f_\epsilon(x)=0]$

$[1/2-\epsilon/2 lt x lt 1/2+\epsilon/2] rarr [f_\epsilon(x)=1/sqrt\epsilon]$

per cui valgono:

$[\int_{0}^{1}|f_\epsilon(x)|^2dx=1]$

$[lim_(\epsilon->0^+)[f_\epsilon(x)]^2=\delta(x-1/2)] rarr [lim_(\epsilon->0^+)\int_{0}^{1}[V(x)]^2|f_\epsilon(x)|^2dx=\int_{0}^{1}[V(x)]^2\delta(x-1/2)dx=1/4]$

A quanto mi pare di capire, l'operatore è da considerarsi come operatore di $L^1$ in sé.
In quest'ottica, è naturale considerare di applicare la disuguaglianza di Hölder "scema":
\[
\| V\cdot f\|_1 \leq \| V\|_\infty\cdot \| f\|_1
\]
al problema di stabilire se l'operatore è limitato.

Ringrazio tutti per le risposte e mi scuso per le mie imprecisioni nel riportare il testo dell'esercizio e il tentativo di svolgimento ma ero in partenza quindi non ho potuto fare di meglio. Ad ogni modo ho mancato di scrivere che l'operatore è in $L^2([0;1])$ , ma avrebbe qualche differenza per quanto riguarda la prima richiesta?
Come detto da Gugo ho utilizzato la disuguaglianza di Holder per dimostrare la limitatezza dell'operatore. Ho pensato che se $f(x),V(x) in L^2([0;1)]$ e se è verificata la seguente $||V*f||_1 <=||V||_2*||f||_2 <= ||V||_(oo)*||f||_1$ allora $V$ è limitato, perché $+oo>= p>q>1 => L^p sube L^q$; ho voluto, in particolare, usare la funzione costante $1$ per evidenziare che $||V||_2<=||V||_(oo)=1/2$; ovviamente non so se è corretto,altrimenti non avrei chiesto aiuto.
S.Elias, come mai parli di funzione classica? Fino ad ora è la prima volta che la incontro. Sapresti dirmi qualcosa di più sul motivo per cui viene scelta ?

Ultima modifica di Boomerang il 18/04/2017, 16:44, modificato 1 volta in totale.

A parte che conviene usare Hölder come ho detto sopra, cioè "rimanendo" in $L^1$, la norma dell'operatore è proprio \(1/2=\max V=\| V\|_\infty\).
Quest'idea viene fuori dal fatto che la disuguaglianza di Hölder (usata bene) fornisce già una maggiorazione ottimale.

Per renderti conto della bontà della cosa, prova a calcolare i rapporti \(\frac{\|Vf_n\|_1}{\|f_n\|_1}\) in corrispondenza delle funzioni:
\[
f_n :=\begin{cases} 1 &\text{, se } 1/2 - \varepsilon_n \leq x \leq 1/2 + \varepsilon_n\\
0 &\text{, altrimenti}
\end{cases}\; ,
\]
in cui $(\varepsilon_n)$ è una qualsiasi successione strettamente decrescente, minore di $1/2$ ed infinitesima.


P.S.: Scommetto che @anonymous_0b37e9 parlasse di funzione "classica" intendendo che scegliere una tale funzione è un trucco usato frequentemente in questi casi.

In pratica vorresti farmi toccare con mano la veridicità della disuguaglianza di Holder ... Calcolando l'integrale di ogni termine della successione dovrei ottenere che $(||V*f_n||_1)/(||f_n||_1) <= 1/2$.
In ogni caso non capisco se la tua affermazione "se usata bene" si riferisce a qualche mio errore formale; ho forse scritto qualcosa di sbagliato?

Ultima modifica di Boomerang il 18/04/2017, 18:41, modificato 1 volta in totale.

Scommetto che @anonymous_0b37e9 ...

Ciao gugo82. Ogni tanto, quando sono alla mia portata, mi piace cimentarmi nei problemi di analisi funzionale adottando gli strumenti che passa il convento, non molti e un po' primitivi per la verità. Ben sapendo che, se ho preteso troppo da me stesso, qualcuno mi correggerà.

In pratica vorresti farmi toccare con mano la veridicità della disuguaglianza di Holder ... Calcolando l'integrale di ogni termine della successione dovrei ottenere che $(||V*f_n||_1)/(||f_n||_1) <= 1/2$.

Non proprio... Che quei rapporti siano $<=1/2$ è ovvio (proprio per Hölder!), quindi non vai a testare la "veridicità" della disuguaglianza.
Quello che si nota è che:
\[
\lim_n \frac{\| Vf_n\|_1}{\|f_n\|_1} = \lim_n \frac{1-\varepsilon_n}{2} = \frac{1}{2}
\]
cosicché la norma dell'operatore $V$ non può essere strettamente minore di $1/2$.
Dato che Hölder ti fornisce la stima:
\[
\| V\|_\text{op} \leq \frac{1}{2}
\]
la conclusione diventa evidente.

In ogni caso non capisco se la tua affermazione "se usata bene" si riferisce a qualche mio errore formale; ho forse scritto qualcosa di sbagliato?

Hai fatto un passaggio inutile, dato che non serve andare in $L^2$ per usare Hölder.
Inoltre, $L^2$ è strettamente più piccolo di $L^1$, dunque passando per $L^2$ il calcolo della norma dell'operatore può darti un risultato più grande di (o comunque diverso da) quello giusto.

Tanto per capirci con un esempio, se al posto di ambientare il problema in \((0,1)\) lo avessi posto in \((-1,1)\), avresti avuto la stima:
\[
\|V\|_\text{op}\leq \| V\|_2\leq \sqrt{2}\ \|V\|_\infty
\]
che non ti fornisce un guess ottimale per la norma dell'operatore come operatore di $L^1$ in sé.

Leggo solo ora che l'operatore $V$ è da considerarsi come operatore di $L^2$ in sé, quindi mi spiace aver ingarbugliato il discorso.

Ad ogni modo, a questo punto si usa sempre Hölder per stimare la norma operatoriale con la norma $L^\infty$ della funzione $V$:
\[
\| V\|_\text{op} \leq \| V\|_\infty =\frac{1}{2}
\]
e l'unica cosa che può cambiare è la scelta delle funzioni $f_n$ sulle quali calcolare i rapporti \(\frac{\| Vf_n\|_2}{\|f_n\|_2}\).
In tal senso, la scelta fatta da @anonymous_0b37e9 è buona (con opportune modifiche¹, se non conosci la Teoria delle Distribuzioni); l'unico errore commesso nel conto è non aver preso, alla fine, la radice quadrata del risultato.

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Note

1. Leggi, calcolo esplicito al posto dell'utilizzo della $\delta$ di Dirac. ↑