Derivabilità delle funzioni monotone

Come si dimostra che, data una funzione $f:RR->RR$ (debolmente) crescente, l'insieme dei suoi punti di non derivabilità ha misura nulla (secondo Lebesgue)? (se è vero; mi sembra di averlo letto da qualche parte, ma potrei sbagliarmi)
So dimostrare che l'insieme dei punti di discontinuità è al più numerabile, e quindi in particolare ha misura nulla, ma non penso c'entri molto.

Ma vuoi un hint o una referenza? Perche' e' un risultato iperclassico (e non banale), spesso indicato col nome di Teorema di Lebesgue, che si trova ovunque (tipo pag. 108 di Royden - Fitzpatrick, Real Analysis, il primo libro che ho aperto).

Qualsiasi cosa va bene, diciamo solo che se è una referenza, sarebbe meglio se fosse facilmente accessibile.

Una l'ho citata sopra. Una versione (probabilmente) user friendly sta nelle dispense di Analisi Reale di De Marco (non so se si trovino ancora in rete), altrimenti pag. 101 della seconda edizione del sempiterno Folland, Real Analysis - ... .

Ultima modifica di Delirium il 14/01/2018, 20:25, modificato 1 volta in totale.

Grazie Delirium.

Ho avuto modo di consultare il testo che mi hai consigliato (Folland), ma purtroppo usa delle cose di teoria della misura che non conosco, non è che magari conosci una (referenza per una) dimostrazione più "elementare", per quanto possibile, nel senso che usa strumenti di teoria della misura il meno possibile avanzati?
Grazie mille comunque anche per le risposte precedenti Delirium.

Ciao, lungi dall'essere un esperto, sto però per dare un esame in cui ho anche questa dimostrazione. Purtroppo (anche per me) non ho trovato vie alternative e particolarmente dirette. La dimostrazione che conosco io (prime 10 pagine del capitolo 9 del Kolmogorov-Fomin) non mi pare richieda grandi conoscenze di teoria della misura. Non è per niente breve però, è giusto per aggiungere un'ulteriore referenza.

Non mi viene in mente nessuna dimostrazione piu' elementare. Sarebbe comunque sorprendente se ve ne fosse una, visto che il concetto di derivabilita' quasi ovunque nasce con la Teoria della Misura. Se hai dubbi con quella di Folland, riportala qui e ne discutiamo.

Qui trovi una dimostrazione online, la controllai qualche tempo fa perciò dovrebbe essere completa di tutti i dettagli. Ma da quanto ho avuto modo di vedere la dimostrazione è un po' sempre la stessa, si tratta pur sempre di stimare la misura di certi insiemi. Ma comunque ti basta sapere davvero il minimo di teoria della misura per comprenderla: definizione di misura e proprietà di base ($\sigma$-additività, ecc.)

Ho dato un'occhiata al tuo link (per il quale ti ringrazio tanto!) ma ad un certo punto compare il "teorema del ricoprimento di Vitali", che non conosco e non penso sia compreso nel minimo di teoria della misura di cui parlavi, comunque a parte quello la dimostrazione me la sono letta ma c'è quacosa che non mi torna, quando dice $Enn[c_k,d_k]\sub{x\in[c_k,d_k]|\bar{D}f(x)>=abs(\alpha)}$, il valore assoluto ce lo posso mettere perché tanto $\alpha$ è positivo? Penso sia questo il motivo anche se lui non lo dice.
Poi perchè posso dire $m^\ast({x\in[c_k,d_k]|\bar{D}f(x)>=abs(\alpha)})<=1/abs(\alpha)(f(d_k)-f(c_k))$?
Ma poi, $m^\ast$ è la misura esterna di Lebesgue vero?