Derivabilità delle funzioni monotone

[...] $Enn[c_k,d_k]\sub{x\in[c_k,d_k]|\bar{D}f(x)>=abs(\alpha)}$, il valore assoluto ce lo posso mettere perché tanto $\alpha$ è positivo? Penso sia questo il motivo anche se lui non lo dice. [...]

Sembrerebbe di si'.

[...] Poi perchè posso dire $m^\ast({x\in[c_k,d_k]|\bar{D}f(x)>=abs(\alpha)})<=1/abs(\alpha)(f(d_k)-f(c_k))$? [...]

E' un risultato che viene provato nella pagina linkata all'inizio.

Una dimostrazione che non fa uso della Teoria della Misura la trovi sul (davvero sempiterno) testo di Riesz, Lecons d'Analyse Fonctionelle, o Functional Analysis (in traduzione inglese), cap. 1, parr. 2 & 3.

D'altra parte, come nota l'autore:

[...] aggiungiamo che Lebesgue dimostrò questo teorema sotto l'ipotesi aggiuntiva di continuità della funzione $f(x)$. La dimostrazione apparve nell'edizione del 1904 del suo libro sull'integrazione (Lecons sur l'Intégration et la Recherche des Fonctions Primitives, n.d. Gugo), alla fine dell'ultimo capitolo, come risultato finale di tutta la teoria. Tuttavia, né l'idea di integrale né quella di misura compaiono nell'enunciato del teorema. Infatti, la nozione di insieme di misura nulla non dipende essenzialmente dalla teoria generale della misura e le proprietà principali di tali insiemi possono essere dimostrare in poche righe.

La dimostrazione fornita nel testo di Riesz è anch'essa fatta con l'ipotesi aggiuntiva della continuità e si basa su un lemmino tecnico che, se non ricordo male, si chiama (in gergo) Riesz's rising sun lemma. Tale dimostrazione è ripresa, con qualche modifica, nel libro di Leoni sugli spazi di Sobolev, A First Course in Sobolev Spaces.

Grazie Delirium e grazie anche a Gugo82, molto interessante quello che hai detto, anche perché a me piacciono parecchio le contestualizzazioni storiche, se ho modo provo a guardarla sui testi che mi hai suggerito.