Costruzione insieme non misurabile

a) Sia $d in (0,∞]$, costruire un insieme non misurabile e illimitato $A_d ⊂ R$ con $|A_d|e = d$ (misura esterna)
b)Dire se $QQ xx A_(oo)$ è misurabile in $RR^2$

Non so bene dove mettere le mani

Per quanto riguarda b) mi verrebbe da dire no. Se $ A_(oo)$ non è misurabile, perchè dovrebbe esserlo $QQxxA_(oo)$?

Per a) volevo costruirmi $A_d$ come insieme di Vitali, ma invece che prendere il classico insieme $[0,1]$ dove definirci la relazione d'equivalenza, prendere l'insieme $[0,d]$: avrei così che l'insieme non è misurabile perchè appunto è un Vitali, è contenuto nei reali e la misura esterna è $d$. Il problema è che sarebbe limitato in questo caso. Come faccio altrimenti per far in modo che la misura esterna sia $d$? Non vedo altra soluzione.....Voi avete idee?
Grazie mille

a): La misura esterna dell'insieme di vitali non è 1. Ma la misura esterna di $[0,1] \setminus V$ quella si che è 1! Quindi puoi prenderti $[0,d]$ e costruirci dentro un insieme del tipo Vitali ($V$). Allora la misura esterna di $[0,d] \setminus V$ sarà $d$. Per renderlo illimitato puoi aggiungerci i singoletti $\{n\}_{n \in NN}$: in questa maniera diventa illimitato ed è sempre non misurabile!

b): quell'insieme è misurabile! La misura di Lebesgue è completa e siccome $QQ \times A_{\infty} \subset QQ \times RR$ e si ha $\lambda_2( QQ \times RR)=0$ si ha che anche $\lambda_2(QQ \times A_{\infty})=0$

@Bremen000: Ho riflettuto anche su questo. In effetti, la misura esterna dell'insieme di Vitali non è 1. Ma tu perchè dici che la misura esterna di $[0,1]-V$ è 1? Ciò non significherebbe che allora la misura esterna di Vitali è 0 e quindi arriviamo ad una contraddizione perché in questo caso $V$ sarebbe misurabile?
Ho capito il gioco dei singoletti: idea fantastica! Grazie mille
Per il punto b) hai ragione. Non avevo mai riflettuto su questa cosa perché non abbiamo mai fatto teoremi sul prodotto cartesiano. Davvero, grazie di cuore per avermi "svegliata" un po'

Ciao,

Ciò non significherebbe che allora la misura esterna di Vitali è 0 e quindi arriviamo ad una contraddizione perché in questo caso $ V $ sarebbe misurabile?

No! Tu sai che la misura interna dell'insieme di Vitali ($V$) è $0$ e quindi la misura esterna di $[0,1] \setminus V$ è uguale alla misura esterna di $[0,1]$ ovvero $1$.

Per il punto b) hai ragione. Non avevo mai riflettuto su questa cosa perché non abbiamo mai fatto teoremi sul prodotto cartesiano.

Be' se non avete mai fatto nulla sulla misura prodotto è un po' pretenzioso dare un esercizio del genere! Considera che per i rettangoli multidimensionali la misura è sempre data dal prodotto delle loro "componenti uno-dimensionali" (non è scritto in maniera formale ma spero si capisca) e $\infty \cdot 0$ fa $0$ in teoria della misura.

Davvero, grazie di cuore per avermi "svegliata" un po'

E' un piacere!

[quote="Bremen000"]
No! Tu sai che la misura [i]interna[/i] dell'insieme di Vitali ($ V $) è $ 0 $ e quindi la misura [i]esterna[/i] di $ [0,1] \setminus V $ è uguale alla misura [i]esterna[/i] di $ [0,1] $ ovvero $ 1 $. [/quote]

Non ne sapevo nulla di misura interna, in questi giorni ne ho studiato qualche preposizione ad essa collegata. Ma non sono riuscita a dimostrare formalmente che la misura interna dell'insieme di Vitali ($ V $) è $ 0 $. Come faccio a dire che i più grandi chiusi che sono contenuti in V sono proprio i punti? Forse la cosa è talmente banale che non può essere dimostrata. Si vede per costruzione di V?

Per il resto, grazie ancora
Ps Perchè non riesco a quotare? Cosa sbaglio? [/quote]

Ciao!
Puoi provare a dimostrare che se $E$ è un insieme misurabile contenuto nell'insieme di Vitali, allora $\lambda(E)=0$.

Questo si può fare considerando che le traslazioni dell'insieme di Vitali tramite razionali sono disgiunte e quindi anche quelle dei suoi sottoinsiemi.

Quindi $\lambda (\bigcup_{t \in [0,1] \cap QQ} (E+t)) = \sum_{t \in [0,1] \cap QQ} \lambda(E+t) $

Poi puoi guardare dove sta il primo insieme e quindi quanto grande può essere la sua misura....

Se non riesci scrivi pure che sistemiamo!

Ps: non ne ho idea!

Mmmm non ci sono. Non capisco perché prendere i traslati di E. Non si può fare per assurdo?
Suppongo per assurdo che preso $E sub V$, E misurabile $=>lambda(E)>0$
Allora $EE rho >0$ t.c. $(-rho,rho) sub {x-y: x,y in E} sub {x-y:x,y in V}$ ma ciò è assurdo perchè $x-y notin QQ-{0}$
E allora $lambda(E)=0$ $AA E sub V \text{ misurabile}$
Quindi anche $AA \text{chiuso } C sub V$, $lambda(C)=0 => $ la misura interna di Vitali è $0$

Qui mi sa che stai assumendo che un insieme di misura positiva contiene (almeno) un intervallo. Il che è falso, pensa ad esempio a $[0,1] \setminus QQ$.
Le ultime tre righe invece sono corrette e sono proprio quello che serve per concludere.

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

P.S. : mi diverte molto che tu abbia scritto che la misura del signor Vitali è $0$, e non quella del suo insieme

Ahahahaha il signor Vitali era un uomo invisibile
Comunque non stavo dicendo quello, ma che un intervallo è contenuto nell'insieme delle distanze dei vari punti dell'insieme (l'abbiamo dimostrato a lezione)

Ciao! Ho riguardato quello che hai scritto, ora ho capito ed è giusto! Il Teorema di Steinhaus non me lo ricordavo e ti stavo proponendo il procedimento standard (o almeno, quello che io ricordavo).

Brava