definizione di funzione-test e funzionale

Sto studiando le distribuzioni e le mie fonti sono "Metodi matematici per l'ingegneria" di Codegone, lo stesso ma di Barozzi e infine degli appunti. Prima di definire una distribuzione viene definita la "funzione test" ovvero un elemento del dominio $ D $ delle distribuzioni.
il mio problema è nella definizione della funzione test:
1. Codegone: infinitamente derivabile e nulla all'esterno di un sottoinsieme limitato di $ mathbb(R) $
2. Barozzi: di classe $ C^(oo)(mathbb(R)) $ e $ bar( { x in mathbb(R) : v(x) != 0 } ) $ è compatto (con $ v $ funzione)
3. miei appunti: classe $ C^(oo)(mathbb(R)) $ e a supporto compatto
non mi è chiaro dunque se l'insieme dove $ v $ NON è nulla sia compatto o solo limitato (compatto = limitato + chiuso, giusto?)

L'insieme delle \(x\) su cui \(v(x)\ne 0\) è chiuso solo nei casi banali in cui esso coincide con \(\mathbb R\) oppure in cui esso è l'insieme vuoto. Infatti, se \(v\) è continua, allora tale insieme è aperto, e su \(\mathbb R\) quelli elencati sono gli unici insiemi contemporaneamente aperti e chiusi.

Sono l'una la riscrittura dell'altra.

P.S.: Il Codegone... Perché?

P.P.S.: Se sono ancora online, ti consiglio vivamente le dispense del prof. Luigi Greco di Napoli.

L'insieme delle \(x\) su cui \(v(x)\ne 0\) è chiuso solo nei casi banali in cui esso coincide con \(\mathbb R\) oppure in cui esso è l'insieme vuoto. Infatti, se \(v\) è continua, allora tale insieme è aperto, e su \(\mathbb R\) quelli elencati sono gli unici insiemi contemporaneamente aperti e chiusi.

perdonami, $ mathbb(R) $ non è chiuso.
voglio capire una cosa: $ v(x) ={ ( qualc os a ; x !in A),( 0;x in A ):} $ , $ A $ è del tipo $ [a,b] $ (chiuso e limitato, cioè compatto) oppure $ (a,b) $ (cioè aperto) ? perchè a quanto ho capito, dalla definizione di Barozzi, è $ bar(A) = mathbb(R) - A $ ad essere compatto

Ma certo che \(\mathbb R\) è chiuso. Ora sono al cellulare e non posso scrivere molto, ma mi sembra che tu non abbia chiaro cosa significa "chiuso" e "aperto" per un insieme. E che cosa sarebbe quella definizione di "chiusura"?!? (Mi riferisco a \(\overline A=\mathbb R - A\)).

Meglio andare subito a rivedere le definizioni fondamentali di topologia della retta reale. Le troverai sul libro di analisi 1.

@lukixx: non confondere la sopralineatura che denota l'operazione di chiusura di un insieme, con l'analogo simbolo che in Algebra viene usato per denotare il complementare.

Ma certo che \(\mathbb R\) è chiuso. Ora sono al cellulare e non posso scrivere molto, ma mi sembra che tu non abbia chiaro cosa significa "chiuso" e "aperto" per un insieme. E che cosa sarebbe quella definizione di "chiusura"?!? (Mi riferisco a \(\overline A=\mathbb R - A\)).

Meglio andare subito a rivedere le definizioni fondamentali di topologia della retta reale. Le troverai sul libro di analisi 1.

vero, errore mio, $ mathbb(R) $ è sia aperto che chiuso.

@lukixx: non confondere la sopralineatura che denota l'operazione di chiusura di un insieme, con l'analogo simbolo che in Algebra viene usato per denotare il complementare.

hai colto il mio problema di fondo, ho confuso chiusura con complementazione.