Spazi metrici completi

Ciao garazzi

stavo continuando a studiare un po' per i fatti miei teoria della misura e mi sono imbattuto in un argomento fatto dalla prof sulle successioni di funzioni misurabili, però solo per successioni di funzioni $f:RR->RR$.
La affermazione incriminata è la seguente:

sia $f_n:RR->RR$ una successione di funzioni misurabili.
Se $f_n ->g$ puntualmente, allora $g$ è misurabile

L'affermazione è anche causa della seguente domanda(a me stesso): presi $(X,F)$ e $(Y,G)$ due spazi misurabili con $X,Y$ non vuoti e sia $Y^X$ l'insieme delle funzioni $f:Y->X$. Se avessi a che fare con una successione di funzioni ${f_n}_(n in NN)subseteqY^X$ come faccio a parlare di convergenza?

Ho pensato subito agli spazi topologici e vi chiedo: ha senso parlare di ste cose in strutture, passatemi il termine, solo topologiche?

poi ho continuato pensando che un pelo sopra ci stanno gli spazi metrici e scribacchiando ho tirato fuori idea(ovviamente niente di nuovo, ma lo espongo giusto per chiedervi indirettamente se la cosa sia utile).

siano $X,Y$ insiemi non vuoti e $(Y,d_Y)$ spazio metrico, allora la funzione:

$d(f,g):=s u p {d_Y(f(x),g(x)) : x in X}$

induce una metrica su $Y^X$

per arrivare a:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

siano $X,Y$ due insiemi non vuoti e $(Y,d)$ spazio metrico.
se $Y$ è completo allora $Y^X$ è completo(in metrica sup)

dimostrazione
supponiamo che $Y$ sia completo e che ${f_n}_(n in NN)$ sia una successione di Cauchy.

$forallepsilon>0 exists k in NN: forall n,m in NN(n,m>k => d(f_n,f_m)<epsilon)$

$forallepsilon>0 exists k in NN: forall n,m in NN(n,m>k => d(f_n(x),f_m(x))<epsilon, forallx in X)$

quindi $forallx in X$ la successione ${f_n(x)}_(n in NN)$ è una successione di $Y$: essendo $Y$ completo allora

$forallx in X existsl in Y: lim_(n->+infty)d(f_m(x),l(x))=0$

con l'assioma della scelta ci costruiamo una bellissima funzione

$l:X->Y$ tale che $forallx in X, lim_(n->+infty)d(f_m(x),l(x))=0$

a questo punto costruita questa funzione, fissato $epsilon>0$ trovo un $k in NN$ tale che:

$foralln,m in NN( n,m>k => forallx in X, d(f_n(x),f_m(x))<epsilon/2)$

ma allora per $n,m>k$ avremo

$forallx in X, d(f_n(x),l(x))leqd(f_n(x),f_m(x))+d(f_m(x),l(x))<epsilon/2+d(f_m(x),l(x))$

per ogni $x in X$ possiamo passare al limite per $m->+infty$ ottenenedo

$forallx in X, d(f_n(x),l(x))leqepsilon/2+lim_(m->+infty)d(f_m(x),l(x))leqepsilon/2+0<epsilon$

quindi la convergenza di $f_n$ verso $l$ è uniforme e $Y^X$ pertanto è completo¹

seconda domanda(prima però ditemi se la dimostrazione fila : posso continuare a studiare teoria della misura usando spazi di funzioni completi, oppure non serve ad una cippa?

da notare che tutto questo l'ho voluto fare per considerare spazi che siano sia metrici che di misura, in modo da poter parlare sia di misurabilità che di convergenza di funzioni(chiaramente a parte la dimostrazione considero anche $(X,d_X)$ spazio metrico) e di successioni di funzioni.

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Note

1. questo teorema mi serve per il teorema sullo scambio di limiti e sulla continuità del limite uniforme ↑

Si, puoi, e in dimensione finita non c'è niente di nuovo, ma in dimensione infinita l'argomento è più complicato, dovresti cercare "integrale di Bochner" oppure "misure Gaussiane".

P.S.: Io queste cose le ho imparate dall'appendice al libro di Hunter:
https://www.math.ucdavis.edu/~hunter/pdes/ch6A.pdf

Dagli una occhiata ma non ti ci soffermare troppo.

Quanto al fatto che l'insieme \(Y^X\) è completo, che poco c'entra con la teoria della misura, ci sono vari problemi.

Per prima cosa, tu prima parli di convergenza puntuale, e non uniforme. La convergenza puntuale già viene da una topologia, la topologia prodotto, quindi non capisco perché poi ex abrupto te ne esci con la convergenza uniforme.

Per seconda cosa, quella distanza non è ben definita. Infatti, niente impedisce che \(d(f, g)=\infty\). Devi aggiungere l'ipotesi che sia \(f\) sia \(g\) siano limitate, e considerare lo spazio \(B(X; Y)\) delle funzioni limitate di \(X\) in \(Y\) (notazione non standard, ma una notazione standard non esiste). Quello si che è completo.

Ma si tratta di una roba standard, che si trova su qualsiasi libro di topologia o di analisi funzionale. Fai bene a fartela da solo, ma dopo confrontati con i libri, non con il forum.

Dagli una occhiata ma non ti ci soffermare troppo.

Ora gli do un'occhiata, magari trovo un altro libro con cui mi trovo bene

Quanto al fatto che l'insieme $Y^X$ è completo.....

in quanto a teoria della misura, mi serviva solo per parlare di convergenza.
Sostanzialmente dovevo mostrare che la successione di funzioni convergesse uniformemente, quindi ho costruito soltanto una funzione con quella proprietà(è chiaro che sia un limite puntuale) che poi si mostra essere il limite uniforme della successione

hai ragione, devo prendere le funzioni limitate: in effetti ieri notte prima di addormentarmi qualche dubbio mi è salito in merito.

Tempo fa' trovai tra i miei libri un fatto simile, solo che non lo trovo più

Anto, scusa, ma lì da voi non l'avete un corso di Topologia generale?

Diciamo.. il prof è davvero bravo, il problema è che a quanto ho capito insegna da tipo 30 anni questa materia.
Probabilmente si sarà seccato e a lezione si è notato abbastanza e penso che la studierò da solo tra un po'

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in quanto a teoria della misura, mi serviva solo per parlare di convergenza.

Ma allora cosa lo scrivi a fare? La parola SINTESI, dovresti scriverla sul muro bella grande così la vedi ogni giorno appena sveglio e prima di dormire.

Cosa gliene importa alla gente del forum delle tue pippe mentali? (Scusa il termine volgare ma purtroppo era il più adeguato). Scrivi le domande, senza andare fuori tema.

In questo caso specifico, non è importante stare a specificare come tu sia arrivato a porti la domanda sulla convergenza, cosa stavi studiando, che tempo faceva, etc...

Prima di tutto un piccolo commento. L'insieme delle funzioni \(f\colon Y\to X\) si segna con \(X^Y\) e non con \(Y^X\). La notazione è fatta in modo fa avere \(\lvert X^Y \rvert = \lvert X\rvert^{\lvert Y\rvert}\).

Nota comunque che per parlare di convergenza non serve un metrica, seppur abbia poco senso parlare di successioni di Cauchy e similari senza una metrica. Una successione converge in una topogia se per ogni intorno del punto esiste un indice della successione tale che la coda della successione è interamente contenuta in quell'intorno. Se lo spazio non è \(T_2\), una successione può convergere a due punti contemporaneamente.

@dissonance

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pippe mentali era più bello, non si modifica!

Ciao vict

infatti consideravo funzioni $f:X->Y$ in quanto la completezza la intendevo sul codominio.
Prima di finire gli studi mi sarò già sparato.